Chiffres et Arithmétique

La Thèse en une Phrase

Le système de numération décimale positionnelle avec zéro a été créé en Inde ; les savants du monde islamique l'ont adopté, l'ont complété par les fractions décimales, en ont perfectionné les algorithmes écrits et ont livré l'instrument achevé à l'Europe — c'est pourquoi le monde appelle ses chiffres « chiffres arabes » et ses procédures « algorithmes ».

La Chaîne du Développement

Arrivée (années 770). Des textes astronomiques indiens parviennent à Bagdad ; al-Fazari et ses collègues les rendent en arabe. Les avantages du système — neuf chiffres plus le zéro, valeur selon la position, algorithmes uniformes — sont immédiatement évidents pour un empire bureaucratique dont le calcul est le gagne-pain.

Codification (c. années 820). al-Khawarizmi écrit le traité sur le calcul indien qui, dans sa postérité latine (Dixit Algorizmi), donne son nom à toute la discipline. Les algorithmes qu'il enseigne — addition chiffre par chiffre, soustraction avec retenue, multiplication, division, extraction de racines — sont reconnaissablement ceux qu'on enseigne aujourd'hui à l'école primaire.

Fractions décimales (952/953). al-Uqlidisi, à Damas, étend la valeur de position en dessous de la place des unités, marquant la position de la virgule décimale par un trait, et adapte tous les algorithmes à la plume et au papier. L'autre moitié de la droite numérique s'ouvre aux affaires.

Maturité des manuels (Xe–XIe s.). Kushyar ibn Labban et al-Nasawi rédigent des exposés clairs destinés à l'enseignement ; Ibn Tahir al-Baghdadi passe en revue et compare les systèmes concurrents (calcul digital, sexagésimal, décimal).

Les raffinements maghrébins (XIIe–XVe s.). al-Hassar introduit la barre de fraction horizontale ; Ibn al-Banna écrit le manuel de référence de la région ; les règles de vérification (preuve par neuf, par sept, par onze) deviennent systématiques ; les règles d'approximation des racines sont affinées.

Achèvement (1427). La Clé de l'arithmétique d'al-Kashi traite les fractions décimales comme un système complet à usage général, transposant chaque technique sexagésimale en base dix, et démontre la puissance du système par des calculs (16 décimales de \(2\pi\)) qui resteront inégalés en Europe pendant 170 ans.

Le Sexagésimal : la Seconde Base des Professionnels

Parallèlement à l'arithmétique décimale, les astronomes calculaient en base 60, héritée de Babylone par l'intermédiaire de l'astronomie grecque — degrés, minutes, secondes, exactement comme on divise encore aujourd'hui les angles et le temps. Les traités enseignaient les deux bases et la conversion de l'une à l'autre ; les fractions décimales d'al-Kashi furent consciemment calquées sur la pratique des fractions sexagésimales. Le cadran de l'horloge moderne et le cercle de 360° sont des fossiles vivants de ce monde à deux bases.

Calcul Mental et Digital

Un troisième courant, le hisab al-yad (calcul sur les doigts) et les méthodes de calcul mental utilisées par les marchands et les secrétaires, fut lui aussi codifié dans des traités (Abu al-Wafa en écrivit un pour les scribes, comprenant des règles pour les résultats intermédiaires négatifs, traités comme des dettes). La culture arithmétique de la tradition comportait donc trois niveaux : les méthodes mentales/digitales pour le marché, le calcul indien écrit pour le calcul général, le sexagésimal pour l'observatoire.

Transmission vers l'Europe

Le corpus latin de l'algorismus des XIIe–XIIIe siècles (du nom d'al-Khawarizmi) enseigna le calcul décimal dans les universités ; le Liber Abaci de Fibonacci (1202) l'enseigna au monde commercial, barre de fraction comprise ; les écoles d'abaque italiennes formèrent en masse des marchands rompus au calcul ; et le De Thiende de Simon Stevin (1585) donna enfin à l'Europe les fractions décimales que le monde islamique utilisait depuis six siècles. Le chemin qui mène du trait tracé au-dessus d'un chiffre par un copiste de Damas en 952 à la virgule décimale de chaque calculatrice sur Terre passe par cette littérature.

Lien avec les Mathématiques Modernes

La notation positionnelle est, au sens strict, le substrat du calcul moderne : les algorithmes chiffre par chiffre codifiés dans cette tradition sont, du point de vue de la théorie de la complexité, les algorithmes « scolaires » à l'aune desquels on mesure la multiplication rapide (Karatsuba, méthodes fondées sur la FFT), et la représentation positionnelle se généralise directement à la base 2, la représentation matérielle de toute l'informatique moderne. L'« algorithme », nom d'une procédure effective finie et objet central de l'informatique, descend en filiation étymologique et conceptuelle directe de ces textes arithmétiques.

Sources : Saidan, The Arithmetic of al-Uqlidisi ; Berggren, Episodes, ch. 2 ; Katz ; Levey & Petruck ; Djebbar sur l'école maghrébine.