Ère IV — Le XIIe Siècle (1100–1200)¶
Le siècle au cours duquel l'Europe commença à traduire cette tradition en latin (voir Le Mouvement de Traduction), tandis que la tradition elle-même poursuivait sa route : une arithmétique des polynômes de style symbolique, un étonnant traitement proto-analytique des cubiques et l'essor du calcul maghrébin.
al-Khazini¶
Abd al-Rahman al-Khazini (fl. c. 1115–1130) · Merv · mécanique, astronomie
Ancien esclave d'origine byzantine devenu l'un des principaux savants de la cour seldjoukide de Merv. Son Livre de la balance de la sagesse (Kitab Mizan al-Hikma, 1121/22) est le traité médiéval le plus complet de statique et d'hydrostatique mathématiques : théorie des centres de gravité (s'appuyant sur al-Quhi et Ibn al-Haytham), balance hydrostatique, et tables de densités relatives de métaux, de pierres précieuses et de liquides mesurées avec une précision impressionnante. Il traite la pesanteur comme dirigée vers le centre de la Terre et variant, en un sens qualitatif, avec la distance — la mécanique comme science mathématique, quatre siècles avant que Stevin et Galilée ne reparcourent une partie de ce terrain. Son Zij sanjari servit l'astronomie pratique.
Sources : DSB (R. E. Hall, « al-Khazini ») ; traduction anglaise partielle par N. Khanikoff (1859).
Jabir ibn Aflah¶
Abu Muhammad Jabir ibn Aflah (fl. c. 1120–1150) · Séville · astronomie, trigonométrie
Latinisé en Geber (source persistante de confusion avec l'alchimiste Jabir ibn Hayyan). Son Islah al-Majisti (« Correction de l'Almageste ») critiquait Ptolémée — replaçant notamment Vénus et Mercure au-dessus du Soleil — et, point important pour les mathématiques, s'ouvrait sur un traité autonome de trigonométrie sphérique organisé autour de la règle des sinus et de la règle des quatre quantités, abandonnant entièrement le théorème de Ménélaüs. Gérard de Crémone le traduisit en latin ; par ce canal, la trigonométrie de Jabir atteignit Regiomontanus, dont le De triangulis omnibus emprunte des résultats à Geber (Cardan reprocha plus tard ostensiblement à Regiomontanus de ne pas l'avoir suffisamment reconnu). Le « théorème de Geber » en trigonométrie sphérique (\(\cos B = \cos b \sin A\) pour un triangle sphérique rectangle, selon un énoncé courant) porte encore aujourd'hui son nom latin.
Sources : DSB (R. Lorch, « Jabir ibn Aflah ») ; les études de Lorch sur l'Islah ; Van Brummelen.
al-Samawal¶
al-Samawal ibn Yahya al-Maghribi (c. 1130 – c. 1180) · Bagdad, Perse · algèbre, arithmétique
Né dans une famille juive de Bagdad (il se convertit à l'islam à l'âge adulte et écrivit à ce sujet), prodige qui composa son chef-d'œuvre, al-Bahir fi al-Jabr (« Le brillant en algèbre »), vers l'âge de dix-neuf ans, consolidant et prolongeant l'école d'al-Karaji.
Arithmétique des polynômes. Al-Samawal manipule les polynômes au moyen de tableaux de coefficients indexés par la puissance, puissances négatives comprises, effectuant l'addition, la multiplication et, point crucial, la division euclidienne des polynômes exactement comme on l'enseigne aujourd'hui, et prolongeant les quotients en développements se poursuivant indéfiniment (par exemple, divisant pour obtenir ce qui est en fait une série entière en \(1/x\)), avec un énoncé explicite de la règle \(x^m \cdot x^n = x^{m+n}\) couvrant les exposants négatifs : « opérer sur les inconnues avec tous les outils arithmétiques que l'arithméticien applique au connu ». Les historiens (Rashed) y voient l'énoncé médiéval le plus clair du programme d'arithmétisation de l'algèbre.
Démonstration de type récurrence. Ses démonstrations de la relation de récurrence des coefficients binomiaux et d'identités comme la somme des carrés procèdent par régression de \(n\) à \(n-1\) jusqu'à un cas de base — le squelette reconnaissable du raisonnement par récurrence avant sa formalisation (Pascal, 1654).
Approximation. Dans al-Qiwami, il calcule avec des fractions décimales et approche les racines par des méthodes équivalentes à la conservation d'un nombre arbitraire de décimales, conscient d'une précision contrôlée.
Sources : l'édition d'al-Bahir par Rashed & Ahmad (1972) ; Rashed, Development of Arabic Mathematics ; Katz ; DSB.
Sharaf al-Din al-Tusi¶
Sharaf al-Din al-Muzaffar ibn Muhammad al-Tusi (c. 1135 – c. 1213) · Tus, Damas, Alep, Mossoul · algèbre, géométrie
(À ne pas confondre avec Nasir al-Din al-Tusi, du siècle suivant.) Son Traité des équations reprend la classification des cubiques de Khayyam et pose la question suivante : quand les solutions existent-elles, et combien y en a-t-il ? Pour les types de cubiques qui peuvent ne pas avoir de solution positive, il détermine la condition en localisant le maximum de l'expression cubique : pour \(x^3 + c = bx\) (dans son style, rendu en notation moderne), il identifie la valeur critique \(x = \sqrt{b/3}\), où l'expression \(bx - x^3\) est maximale, et compare \(c\) à ce maximum pour dénombrer les racines. La valeur critique est précisément la racine de ce que nous appellerions la dérivée, et l'historien Roshdi Rashed a soutenu que cela revient à une analyse de maximum local anticipant les idées différentielles ; d'autres historiens (Hogendijk, Berggren) proposent des lectures plus prudentes, fondées sur des outils euclidiens. Quoi qu'il en soit, le traité contient aussi une remarquable méthode numérique d'approximation des racines cubiques chiffre par chiffre (apparentée à ce qu'on appelle aujourd'hui le schéma de Ruffini–Horner, central de manière indépendante dans les mathématiques chinoises et formalisé en Europe en 1804–1819). Il inventa également l'astrolabe linéaire (« le bâton d'al-Tusi »), un astrolabe en forme de tige.
Sources : l'édition de Rashed, Sharaf al-Din al-Tusi : Œuvres mathématiques (1986) ; J. P. Hogendijk, « Sharaf al-Din al-Tusi on the number of positive roots of cubic equations », Historia Mathematica 16 (1989) ; les discussions critiques de Berggren ; DSB.
al-Hassar¶
Abu Bakr Muhammad al-Hassar (fl. XIIe siècle) · Maghreb (région de Ceuta ou de Fès) · arithmétique
Auteur du Kitab al-Bayan wa-l-Tadhkar, une arithmétique pratique de l'école maghrébine dont le monument durable est notationnel : le texte d'al-Hassar contient le plus ancien usage systématique connu de la barre de fraction horizontale, écrivant une fraction sous la forme d'un numérateur placé au-dessus d'un dénominateur et séparé de lui par une barre — la notation que le monde entier utilise aujourd'hui. Fibonacci, formé en partie à Bougie (au Maghreb), utilise précisément cette notation dans le Liber Abaci, voie plausible de son entrée en Europe. Le traité fut traduit en hébreu (par Moïse ibn Tibbon, 1271), preuve de sa circulation.
Sources : Lamrabet, Introduction à l'histoire des mathématiques maghrébines ; les études de Djebbar sur les mathématiques maghrébines ; Katz.
Ibn al-Yasamin¶
Abu Muhammad Abdallah ibn al-Yasamin (m. c. 1204) · Maghreb, Marrakech, Séville · arithmétique, algèbre, pédagogie
Savant berbère célèbre pour ses poèmes didactiques mathématiques, avant tout l'Urjuza fi al-jabr (« Poème sur l'algèbre »), qui mettait en vers les règles de l'algèbre afin que les élèves puissent les mémoriser ; il fut récité, appris par cœur et commenté dans toute l'Afrique du Nord pendant des siècles — rappel que cette tradition investissait sérieusement dans la pédagogie. Les manuscrits de son école montrent aussi le symbolisme algébrique maghrébin en développement (lettres/signes pour l'inconnue, ses puissances, les racines et l'égalité) qu'al-Qalasadi systématiserait plus tard.
Sources : Djebbar ; les études d'Abdeljaouad sur le symbolisme maghrébin ; Lamrabet.