Théorie des Nombres et Combinatoire

Théorie des Nombres : au-delà des Grecs

L'héritage grec en théorie des nombres se composait des livres arithmétiques d'Euclide (VII–IX, comprenant les nombres parfaits et l'infinité des nombres premiers) et de l'Introduction arithmétique, plus mystique, de Nicomaque. La tradition islamique y ajouta de véritables théorèmes.

Nombres amiables. La paire (220, 284), où chaque nombre est la somme des diviseurs propres de l'autre, était connue des Grecs comme une curiosité. Thabit ibn Qurra (IXe s.) démontra le premier théorème général de génération : si \(p = 3\cdot 2^{n-1}-1\), \(q = 3\cdot 2^{n}-1\) et \(r = 9\cdot 2^{2n-1}-1\) sont premiers, alors \((2^n pq,\ 2^n r)\) est une paire amiable. Kamal al-Din al-Farisi (c. 1300) redémontra la règle sur un fondement nouveau : une théorie élaborée des diviseurs construite à partir de la décomposition en facteurs premiers (avec un dénombrement combinatoire des diviseurs), l'un des premiers emplois du théorème fondamental de l'arithmétique comme outil de travail. La paire (17296, 18416), souvent appelée « paire de Fermat » (1636), apparaît dans la tradition islamique des siècles plus tôt (les discussions d'attribution mentionnent l'école d'Ibn al-Banna et al-Farisi). La généralisation finale d'Euler (XVIIIe s.) referme un arc que Thabit avait ouvert.

Problèmes à saveur fermatienne. al-Khujandi affirma (avec une démonstration défectueuse) que \(x^3+y^3=z^3\) n'a pas de solutions entières — le cas cubique de ce qui deviendra le dernier théorème de Fermat. Al-Khazin traita des problèmes de type nombres congruents et des représentations comme sommes de carrés, dans la tradition diophantienne qu'avait ouverte la traduction de Diophante par Qusta ibn Luqa.

Sommes de puissances. Les formes closes de \(\sum k\), \(\sum k^2\), \(\sum k^3\) furent héritées et redémontrées ; Ibn al-Haytham établit \(\sum k^4\) par une méthode qui s'étend à tous les exposants, motivé par des calculs de volumes. Ces identités, avec les démonstrations de type récurrence d'al-Karaji et d'al-Samawal, placent la tradition au seuil du calcul des différences finies.

Carrés magiques. Une abondante littérature arabe (à partir des Ikhwan al-Safa au Xe siècle, avec des traités d'al-Buni et d'autres, d'un sérieux mathématique variable) élabora des méthodes générales de construction de carrés magiques d'ordre quelconque, travaux étudiés en détail par Jacques Sesiano, qui attribue à la tradition la première théorie générale.

Combinatoire : le Dénombrement Devient une Science

Deux motivations indépendantes stimulèrent les mathématiques combinatoires :

La langue. Les lexicographes arabes, à commencer par al-Khalil ibn Ahmad (VIIIe s., auteur du premier dictionnaire arabe), dénombrèrent les racines possibles formables à partir de l'alphabet — permutations et combinaisons de lettres —, sans doute la première entreprise combinatoire à grande échelle de l'histoire.

La table binomiale. al-Karaji (c. 1000) construisit le triangle des coefficients binomiaux avec sa règle additive à des fins algébriques (développer \((a+b)^n\)) ; al-Samawal en conserve le récit. Au Maghreb, Ibn Mun'im (m. 1228, Marrakech) construisit le même triangle pour des problèmes de dénombrement — les mots formables à partir d'ensembles de lettres, les combinaisons de couleurs de glands de soie —, lisant \(\binom{n}{k}\) de manière combinatoire ; Ibn al-Banna énonça ensuite la formule multiplicative \(\binom{n}{k} = \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}\) et l'identité reliant les combinaisons aux nombres figurés. Cette lignée maghrébine est parmi les toutes premières, où que ce soit, à traiter la combinatoire comme une méthode générale plutôt que comme un éparpillement d'énigmes. (Le triangle lui-même apparaît indépendamment en Inde, en Chine et plus tard en Europe ; « triangle de Pascal » est historiquement le plus jeune de ses noms.)

Lien avec les Mathématiques Modernes

La recherche sur les nombres amiables est toujours vivante (la règle de Thabit engendre des paires encore utilisées comme exemples ; l'existence d'une infinité de paires amiables reste une question ouverte). La fonction nombre de diviseurs \(d(n)\) et la structure multiplicative qu'exploita al-Farisi sont le socle de la théorie analytique des nombres. Les identités sur les coefficients binomiaux d'al-Karaji, d'Ibn Mun'im et d'Ibn al-Banna forment le premier chapitre de tout cours moderne de combinatoire, et les problèmes de dénombrement lexicographique des grammairiens arabes sont, en habit moderne, des problèmes sur les mots d'alphabets finis — la matière première de la théorie des langages formels et de la théorie de l'information. Pour le lecteur sensible à la cybersécurité : l'analyse des fréquences d'al-Kindi (voir l'Ère I) est de la combinatoire et de la statistique appliquées aux distributions de lettres, la forme ancestrale de la cryptanalyse statistique.

Sources : Rashed, The Development of Arabic Mathematics (nombres amiables, al-Farisi) ; Katz (Ibn Mun'im, combinatoire maghrébine) ; Djebbar ; J. Sesiano, Magic Squares in the Tenth Century et études connexes ; Berggren, Episodes.