نظرية الأعداد والتوافقيات

نظرية الأعداد: ما وراء اليونان

كان الإرث اليوناني في نظرية الأعداد يتمثل في المقالات الحسابية لإقليدس (7–9، بما فيها الأعداد التامة ولانهائية الأعداد الأولية) وفي المدخل إلى علم العدد لنيقوماخوس، الأقرب إلى التصوف. فأضاف التقليد الإسلامي مبرهنات حقيقية.

الأعداد المتحابة. كان الزوج (220، 284)، الذي يساوي كلٌّ من عدديه مجموعَ القواسم الفعلية للآخر، معروفاً لدى اليونان على سبيل الطرافة. فبرهن ثابت بن قرة (القرن التاسع) أول مبرهنة توليد عامة: إذا كانت \(p = 3\cdot 2^{n-1}-1\) و\(q = 3\cdot 2^{n}-1\) و\(r = 9\cdot 2^{2n-1}-1\) أعداداً أولية، فإن \((2^n pq,\ 2^n r)\) زوج متحاب. وأعاد كمال الدين الفارسي (ح. 1300) برهنة القاعدة على أساس جديد: نظرية مفصّلة في القواسم مبنية على التحليل إلى عوامل أولية (مع عدٍّ توافقي للقواسم)، وهي من أقدم استعمالات المبرهنة الأساسية في الحساب أداةً للعمل. والزوج (17296، 18416)، الذي يُسمّى كثيراً "زوج فيرما" (1636)، يظهر في التقليد الإسلامي قبل ذلك بقرون (وتتناول نقاشات النسبة مدرسة ابن البنّاء والفارسي). ثم جاء تعميم أويلر في النهاية (القرن الثامن عشر) ليُغلق قوساً فتحه ثابت.

مسائل بنكهة فيرما. ادّعى الخجندي (ببرهان معيب) أن المعادلة \(x^3+y^3=z^3\) ليس لها حلول صحيحة — وهي الحالة التكعيبية لما صار يُعرف بمبرهنة فيرما الأخيرة. وعالج الخازن مسائل من نوع الأعداد المتطابقة والتمثيل مجموعاً لمربعات، ضمن التقليد الديوفانطي الذي فتحته ترجمة قسطا بن لوقا لديوفانطس.

مجاميع القوى. وُرثت الصيغ المغلقة لـ\(\sum k\) و\(\sum k^2\) و\(\sum k^3\) وأُعيدت برهنتها؛ واشتق ابن الهيثم \(\sum k^4\) بطريقة تمتد إلى جميع الأسس، بدافع من حسابات الأحجام. وهذه المتطابقات، مع براهين الكرجي والسموأل على نمط الاستقراء، تضع التقليد على عتبة حساب الفروق المنتهية.

المربعات السحرية. طوّرت مؤلفات عربية وفيرة (من إخوان الصفا في القرن العاشر فصاعداً، مع رسائل للبوني وغيره متفاوتة الجدية الرياضية) طرائقَ عامة لإنشاء المربعات السحرية من أي رتبة، وهي أعمال درسها جاك سيسيانو بالتفصيل، ويَنسب إلى هذا التقليد أول نظرية عامة فيها.

التوافقيات: العدّ يصير علماً

دفع دافعان مستقلان الرياضياتِ التوافقية:

اللغة. عدّ المعجميون العرب، بدءاً من الخليل بن أحمد (القرن الثامن، صاحب أول معجم عربي)، الجذورَ الممكن تكوينها من الأبجدية — تباديل الحروف وتوافيقها — وهو على الأرجح أول مشروع توافقي واسع النطاق في التاريخ.

الجدول الحداني. أنشأ الكرجي (ح. 1000) مثلث المعاملات الحدانية مع قاعدته الجمعية لأغراض جبرية (نشر \((a+b)^n\))؛ وقد حفظ السموأل هذه الرواية. وفي المغرب أنشأ ابن منعم (ت. 1228، مراكش) المثلثَ نفسه لـمسائل العدّ — الكلمات الممكن تكوينها من مجموعات الحروف، وتوافيق ألوان شرّابات الحرير — قارئاً \(\binom{n}{k}\) قراءةً توافقية؛ ثم صاغ ابن البنّاء الصيغة الضربية \(\binom{n}{k} = \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}\) والمتطابقة التي تربط التوافيق بالأعداد الشكلية. وهذا الخط المغاربي من أقدم الخطوط في أي مكان التي عاملت التوافقيات منهجاً عاماً لا شتاتاً من الألغاز. (وللمثلث نفسه ظهورات مستقلة في الهند والصين ثم في أوروبا لاحقاً؛ و"مثلث باسكال" هو أحدث أسمائه تاريخياً.)

الصلة بالرياضيات الحديثة

لا يزال البحث في الأعداد المتحابة حياً (فقاعدة ثابت تولّد أزواجاً لا تزال تُستعمل أمثلةً؛ ووجود عدد لانهائي من الأزواج المتحابة مسألة مفتوحة). ودالة عدد القواسم \(d(n)\) والبنية الضربية التي استثمرها الفارسي حجر أساس في نظرية الأعداد التحليلية. ومتطابقات المعاملات الحدانية عند الكرجي وابن منعم وابن البنّاء هي الفصل الافتتاحي في كل مقرر حديث في التوافقيات، ومسائل العدّ المعجمي عند النحاة العرب هي، في ثوب حديث، مسائل حول الكلمات على أبجديات منتهية، أي المادة الخام لنظرية اللغات الشكلية ونظرية المعلومات. وللقارئ المهتم بالأمن السيبراني: تحليل التكرار عند الكندي (انظر الحقبة الأولى) توافقياتٌ وإحصاءٌ مطبَّقان على توزيعات الحروف، وهو الصورة الأصلية لاستخراج المعمّى الإحصائي.

المصادر: راشد، The Development of Arabic Mathematics (الأعداد المتحابة، الفارسي)؛ كاتز (ابن منعم، التوافقيات المغاربية)؛ جيبار؛ J. Sesiano، Magic Squares in the Tenth Century ودراسات ذات صلة؛ بيرغرن، Episodes.