الجبر

وُلد ولم يُستعَر

المسائل التي نعبّر عنها اليوم بالمعادلات أقدم من الكتابة؛ فقد حلّ الكتبة البابليون معادلات من الدرجة الثانية، وتعامل ديوفانطس مع المعادلات ببراعة. أما ما ابتكره الخوارزمي نحو عام 820 فهو الجبر بوصفه علماً: موضوعٌ له اسم (الجبر والمقابلة) وله موضوعاته الأولية الخاصة (العدد، والجذر/الشيء، والمربع/المال)، وتصنيفٌ كامل لمسائله الأساسية (أنواع المعادلات الستة من الدرجة ≤ 2)، وإجراءات حلّ عامة مصوغة لجميع الحالات، وبراهين على صحة هذه الإجراءات، وبرنامج تطبيقات (المواريث، والتجارة، والمساحة). والفرق بين كيسٍ من المسائل المحلولة وبين علمٍ قائم بذاته هو بالضبط هذه البنية، ولهذا يحمل العلمُ كلمةَ كتابه، الجبر، لا كلمةً يونانية أو سنسكريتية.

التطور مرحلةً مرحلة

المرحلة 1 — التأسيس (الخوارزمي، ح. 820). ستة أنواع، وأسلوب بلاغي (كل شيء بالكلمات)، وبراهين هندسية بإتمام المربعات حرفياً. معاملات موجبة وجذور موجبة فقط؛ ومعادلة من الدرجة الثانية مثل \(x^2 + 21 = 10x\) يُعترف بأن لها حلّين (3 و7).

المرحلة 2 — القوة (أبو كامل، ح. 900). يتعامل أبو كامل بحرية مع المعاملات والحلول الصمّاء (أجوبة من قبيل \(x = \sqrt{5} - 1\))، والقوى العليا، والأنظمة المعقدة. صار الجبر الآن قادراً على استيعاب أي عدد تستطيع هندسة ذلك العصر إنتاجه.

المرحلة 3 — التحسيب (الكرجي، ح. 1000؛ السموأل، ح. 1150). يفصل الكرجي الجبرَ عن البرهان الهندسي، ويعامل العبارات في \(x\) وفق قواعد الحساب؛ ويُتمّ السموأل البرنامج: القسمة المطوّلة لكثيرات الحدود، والأسس السالبة مع القانون \(x^m x^n = x^{m+n}\)، وجداول المعاملات التي لا تبعد سوى خطوة ترميزية عن كتابة كثيرات الحدود متجهاتٍ من المعاملات، وبراهين على نمط الاستقراء. هذا هو جبر "التصرف في المجهول كما لو كان معلوماً"، الحركة الذهنية المحدِّدة لهذا العلم، مصوغةً صراحةً.

المرحلة 4 — تخوم المعادلات التكعيبية (من الماهاني إلى الخيام إلى شرف الدين، 860–1200). تؤدي مسألة تقسيم الكرة إلى معادلة تكعيبية (الماهاني)؛ ويحلّها الخازن بالقطوع المخروطية؛ ثم يأتي عمر الخيام فينظّم: حلّ الأنواع الأربعة عشر كلها من المعادلات التكعيبية غير القابلة للاختزال بتقاطع القطوع المخروطية، مع تصريح بأن الحلول الحسابية مفقودة ومرغوب فيها. ثم يحلّل شرف الدين الطوسي وجود الجذور وعددها بواسطة القيمة العظمى للعبارة التكعيبية، ويقرّب الجذور عددياً بمخطط منزلةً منزلةً على طريقة هورنر. وبين هذين الفارسيَّين قامت أكثر نظريات المعادلات تقدماً في العالم حتى إيطاليا القرن السادس عشر.

المرحلة 5 — الرمزية (المغرب، القرون 12–15). طوّرت المدرسة المغاربية رموزاً مكتوبة للمجهول وقواه وللجذور والمساواة، وأجرت الحسابات بها — جبرٌ رمزي حقيقي، قنّنه القلصادي (ت. 1486)، مستقلٌّ عن فييت وسابقٌ له.

ما تلقّته أوروبا وما أعادت إنباته

تلقّت أوروبا المرحلة الأولى مباشرة: الخوارزمي اللاتيني لروبرت الشستري وجيرار الكريموني (القرن الثاني عشر)، إضافة إلى أبي كامل باللاتينية والعبرية، والتأليف الضخم لفيبوناتشي (1202) الذي نقل تصنيف الخوارزمي ومسائل أبي كامل إلى الثقافة الرياضية الإيطالية. وظل معلمو الأباكو الإيطاليون يعالجون المعادلات التكعيبية ثلاثة قرون داخل هذا الإطار بعينه، حتى توصّل ديل فيرو (ح. 1515) وتارتاليا إلى الحل الحسابي الذي تمنّاه الخيام، ونُشر بكامل أدواته في الفن العظيم لكاردانو (1545)، الذي ينسب في صفحته الأولى أصلَ هذا العلم إلى "محمد بن موسى العربي" (الخوارزمي). أما المراحل من 3 إلى 5 فقد أُعيد إنباتها إلى حدٍّ بعيد على التربة الأوروبية (شتيفل، كاردانو، بومبيلي، فييت، ديكارت) مع انتقال نصّي مباشر محدود — وهو نمط متكرر: يُظهر التقليد الإسلامي أيّ التطورات كان طبيعياً رياضياً، حتى حيث لا يمكن توثيق التأثير.

الصلة بالرياضيات الحديثة

تعود ردود الفعل الجوهرية في الجبر الحديث إلى هنا: معاملة المعادلات موضوعاتٍ تُصنَّف وتُحوَّل (فالجبر والمقابلة أول تحويلين مسمَّيين للمعادلات، وهما سلفا "أضف إلى الطرفين")؛ وكثيرة الحدود موضوعاً شكلياً ذا حسابٍ للمعاملات (الكرجي–السموأل)؛ وتفاعل الجبر والهندسة في حل المعادلات بتقاطع المنحنيات (الخيام ← الهندسة لديكارت، النص المؤسِّس للهندسة التحليلية، الذي يحل المعادلات صراحةً بتقاطع القطوع المخروطية)؛ وعدّ الجذور بتحليل القيم القصوى (شرف الدين)، وهو بذرة المنظور القائم على المميِّز والمشتقة. بل إن الحرف \(x\) على كل سبّورة له نسبٌ مرشَّح في الشيء، عبر النقحرة الإسبانية القديمة xay، وإن كان المؤرخون يعدّون هذا الاشتقاق محتملاً غير مثبت.

المصادر: راشد، The Development of Arabic Mathematics؛ بيرغرن، Episodes، الفصل 4؛ كاتز؛ كاردانو، Ars Magna (ترجمة Witmer)؛ دراسات Oaks وAlkhateeb عن الجبر البلاغي.