علم المثلثات¶

فرع الرياضيات الأكثر "صُنعاً في العالم الإسلامي"¶

حسب الفلك اليوناني بـوتر القوس؛ وأدخل الفلك الهندي نصفَ الوتر، أي الجيب. فأخذ التقليد الإسلامي الجيب الهندي، وأضاف إليه خمس دوال أخرى، وبرهن على المبرهنات الحاكمة لها، وبنى الجداول، وكتب أول الكتب التي يكون فيها علم المثلثات موضوعاً رياضياً لا صندوقَ أدوات للفلكي. ومن بين جميع الفروع الكبرى للرياضيات المدرسية، علم المثلثات هو الفرع الذي اكتمل نشوؤه بوصفه علماً مستقلاً داخل هذا التقليد أكثر من غيره.

مجموعة الدوال¶

الجيب: موروث عن الهند، وجُدول منذ أقدم الأزياج (الخوارزمي، حبش). والكلمة اللاتينية sinus ("خليج/طيّة") ترجمةٌ خاطئة: فالعربية جيب نقحرت السنسكريتية جيا/جيفا، لكن الهيكل الصامت للكلمة قُرئ جَيب بمعنى "فتحة الثوب، طيّته"، فترجمه جيرار الكريموني بـsinus. وكل زرّ "sin" في كل آلة حاسبة يخلّد هذه الترجمة الخاطئة.
الظل وظل التمام: وُلدا بوصفهما دوال ظل، أي أطوال الظلال التي يلقيها مقياس معياري، وجدولهما حبش، ونظّر لهما تنظيراً كاملاً البيروني في كتاب إفراد المقال في أمر الظلال.
القاطع وقاطع التمام: دوال الوتر المقابلة ("قطر الظل")، وكانت مستعملة منذ القرن العاشر.
رسّخ أبو الوفاء الدوال الست كلها، وبرهن على المتطابقات التي تربط بينها، وأثبت صيغ الجمع ونصف الزاوية وضعفها في صورة تكافئ الصورة الحديثة، وحسب الجيوب بدقة عالية باستيفاء صارم؛ ولم تُضاهَ دقة جدوله في أوروبا حتى القرن السادس عشر.

المبرهنات¶

قانون الجيوب المستوي: \(\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}\)، صيغ وبُرهن عليه داخل هذا التقليد (والنسبة موزعة بين جيل أبي الوفاء وتنظيم الطوسي).
قانون الجيوب الكروي: \(\dfrac{\sin a}{\sin A} = \dfrac{\sin b}{\sin B} = \dfrac{\sin c}{\sin C}\)، أداة العمل الأساسية في الفلك، اكتُشف نحو 980–1000 (المدّعون: أبو الوفاء، أبو نصر منصور، الخجندي)؛ وقد حلّ محل شكل منلاوس المرهق.
قانون جيوب التمام: يظهر حل المثلث بمعلومية ضلعين والزاوية المحصورة بينهما على نحو عملي في مفتاح الحساب لـالكاشي؛ ولا يزال الاستعمال الفرنسي يسمّي هذه المبرهنة le théorème d'Al-Kashi (مبرهنة الكاشي).
"مبرهنة جابر" وقاعدة المقادير الأربعة في المثلثات الكروية القائمة (جابر بن أفلح).
المثلث القطبي والحل الكامل للمثلثات الكروية من أي ثلاثة عناصر معلومة (نصير الدين الطوسي، كتاب الشكل القطاع، أول كتاب مستقل في علم المثلثات).

الجداول¶

الجداول المثلثية تحليلٌ عددي في حالة عمل: تباعد العُقد، ومخططات الاستيفاء (الخطي ثم من الرتبة الثانية)، وضبط الخطأ. ومن معالمها: جيوب أبي الوفاء؛ والزيج الحاكمي لابن يونس؛ وجداول الخليلي المساعدة العامة ذات نحو 13000 مدخلة (دوال في متغيرين وثلاثة متغيرات)؛ وجداول الجيب والظل في الزيج السلطاني السمرقندي بفواصل دقيقة قوسية واحدة؛ وحساب الكاشي لـ\(\sin 1°\) بالتكرار بالنقطة الثابتة إلى ما يعادل نحو 16 منزلة عشرية. والمسألة التي يحلّها تكرار الكاشي — الانتقال من \(\sin 3°\) القابل للإنشاء إلى \(\sin 1°\) عبر معادلة تكعيبية غير قابلة للاختزال — هي الحالة غير القابلة للاختزال (casus irreducibilis) التي ستُجبر الأوروبيين لاحقاً (بومبيلي، 1572) على أخذ الأعداد المركبة مأخذ الجد.

التطبيقات التي دفعته¶

أوقات الصلاة (الفلك الكروي لارتفاع الشمس)، والقبلة (مسألة عامة في المثلث الكروي: بمعلومية إحداثيات نقطتين، أوجد اتجاه الدائرة العظمى الواصلة بينهما؛ حلّها حلاً دقيقاً ابن معاذ والبيروني، وجدولها الخليلي)، ومسائل رؤية الهلال في التقويم، وعلم المساحة الأرضية (قياس البيروني للأرض)، ورسم الخرائط (حلّل البيروني إسقاطات الخرائط؛ ونظرية الإسقاط المجسَّم هي أساس الإسطرلاب).

الانتقال والصلة الحديثة¶

حمل الإصلاح اللاتيني لجابر بن أفلح والمتنُ الفلكي علمَ المثلثات الإسلامي إلى أوروبا، حيث جمع كتاب ريجيومونتانوس De triangulis omnibus (1464) البناءَ نفسه للقرّاء اللاتين (مع اقتباسات موثقة من جابر). ومن ريجيومونتانوس يمتد الخط عبر جداول ريتيكوس وفييت إلى علم المثلثات التحليلي عند أويلر، الذي عرّف أخيراً الدوال على دائرة الوحدة أعداداً خالصة — وهو العلم الحديث. وكل تحديد للموقع بنظام GPS، وكل تحويل فورييه، وكل مصفوفة دوران، يحسب بمجموعة الدوال والمبرهنات التي جمعها هذا التقليد: فالجيب في \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\) سار إلى أوروبا من بغداد، وإلى بغداد من الهند.

المصادر: Glen Van Brummelen، The Mathematics of the Heavens and the Earth: The Early History of Trigonometry (2009)، التاريخ الحديث المعياري؛ بيرغرن، Episodes، الفصلان 5–6؛ كينيدي، Survey؛ كينج، In Synchrony with the Heavens.