الحقبة الثالثة — العصر الذهبي (ح. 1000–1100)¶
أنجب القرن الحادي عشر عدداً من أعظم علماء العالم الوسيط كله، شرقه وغربه: ابن الهيثم، والبيروني، و(ممتداً إلى القرن الثاني عشر) عمر الخيام. وفي الأثناء نضجت الأندلس لتصبح مركزاً رياضياً سرعان ما سيتدفق إنتاجه إلى اللاتينية.
أبو نصر منصور¶
أبو نصر منصور بن علي بن عراق (ح. 960 – ح. 1036) · خوارزم، غزنة · علم المثلثات، الهندسة
أميرٌ من الأسرة الحاكمة في خوارزم، وأستاذ البيروني وشريكه طوال حياته (تبادلا رسائل مهداة على مدى عقود). وهو أحد المدّعين الثلاثة لـقانون الجيوب الكروي، وصاحب التحرير العربي المعتمد لكتاب الأُكَر لمنلاوس، النص المؤسِّس للهندسة الكروية، الذي بقي عبر تحريره. وقد استبدلت أعماله بصورة منهجية مبرهنةَ الشكل القطاع لمنلاوس المرهقة بطرائق قاعدة الجيوب الأنظف، التي جعلت الفلك الكروي في متناول الحساب البشري.
المصادر: DSB؛ بيرغرن، Episodes، الفصل 6؛ كينيدي.
النسوي¶
أبو الحسن علي بن أحمد النسوي (ح. 1011 – ح. 1075) · خراسان، بغداد · الحساب
تلميذ من تقليد كوشيار بن لبان؛ واصل كتابه المقنع في الحساب الهندي (الذي كتبه أولاً بالفارسية ثم بالعربية) سلسلةَ الكتب التعليمية في الحساب العشري، فعالج الكسور، واستخراج الجذور (مع تحسينات التقريب المميزة لهذه المدرسة)، وانتقد عروض أسلافه. وهو مفيد للمؤرخين تحديداً لأنه يستعرض الطرائق السابقة ويقارن بينها.
المصادر: DSB؛ دراسات سعيدان في الحساب العربي.
ابن طاهر البغدادي¶
عبد القاهر بن طاهر البغدادي (ت. 1037) · بغداد، نيسابور · الحساب، نظرية الأعداد
متكلّم ورياضي؛ يستعرض كتابه التكملة في الحساب أنظمةَ العدّ المستعملة في زمانه — العشري الهندي، وحساب اليد، والستيني — ويعالج موضوعات في نظرية الأعداد، منها نتيجة في الأعداد المتعادلة (أزواج تتساوى مجاميع قواسمها الفعلية في قيمة ما) تتجاوز المادة اليونانية، ومناقشة محسَّنة للأعداد المتحابة والتامة.
المصادر: تحقيق سعيدان ودراساته؛ DSB.
ابن الهيثم¶
أبو علي الحسن بن الهيثم (ح. 965 – ح. 1040) · البصرة ثم القاهرة · البصريات، الهندسة، الفلك، المنهج
عُرف باللاتينية باسم Alhazen (من "الحسن"). وهو من أهم علماء العصور الوسطى في أي حضارة.
البصريات. أعاد كتاب المناظر ذو المقالات السبع (ح. 1011–1021، ألّفه في القاهرة) تأسيسَ علم الإبصار على نظرية الدخول (الضوء ينتقل من الأجسام إلى العين)، ودمج التقليدين الرياضي (إقليدس، بطليموس) والطبي (جالينوس)، و— على نحو حاسم في تاريخ العلم — احتجّ بـالتجربة المنهجية (الاعتبار): تجهيزات مضبوطة بغرف مظلمة (الخزانة المظلمة أو الكاميرا المظلمة التي حُلّلت تحليلاً صحيحاً لأول مرة)، وفتحات، وانكسارات مقيسة. و"مسألة ابن الهيثم" (مسألة الحسن) — إيجاد نقطة الانعكاس على مرآة كروية بين جسم وعين معلومين — تؤول إلى معادلة من الدرجة الرابعة حلّها هندسياً بواسطة القطوع المخروطية؛ ولم يتوصل الرياضيون الأوروبيون إلى حلول جبرية لها إلا بعد قرون (وقدّم هويغنز معالجة شهيرة لها).
الرياضيات. جمع القوى الرابعة \(\sum k^4\) (وقدّم طريقة تمتد إلى أي قوة صحيحة) بحجة تداخلية/تكرارية، واستعمل النتيجة لحساب حجم المجسم المكافئ الدوراني حول قاعدته، وهو تكامل حقيقي في كل شيء إلا الاسم؛ وصيغ الجمع هذه هي بالضبط التي احتاجها كافاليري وفيرما لحساب \(\int x^n\,dx\) في القرن السابع عشر. وحاول برهنة مصادرة التوازي عبر التشكيل الذي يُسمّى اليوم "رباعي لامبرت" (ثلاث زوايا قائمة، والبحث في الرابعة)، ودرس الأهلّة وتربيع الأشكال المتصلة بالدائرة، وكتب في التحليل والتركيب.
الفلك. أحصى كتابه الشكوك على بطليموس التناقضات الفيزيائية في النماذج الكوكبية البطلمية (معدِّل المسير، والمحاذاة)، راسماً البرنامج النقدي الذي نفّذته مدرسة مراغة لاحقاً.
الانتقال. تُرجم كتاب المناظر إلى اللاتينية نحو عام 1200 بعنوان De aspectibus / Perspectiva، وشكّل الجميع: روجر بيكون، وفيتيلو، وبيكام، ومنظّري المنظور في عصر النهضة (استشهد به غيبرتي)، وكبلر، الذي صيغ كتابه Ad Vitellionem Paralipomena (1604)، العمل المؤسِّس للبصريات الحديثة، بوصفه ملحقاً لتقليد الحسن بن الهيثم وفيتيلو. وظلت طبعة ريزنر المطبوعة عام 1572، Opticae thesaurus، معتمدة حتى القرن السابع عشر.
المصادر: تحقيق A. I. Sabra وترجمته الإنجليزية لكتاب المناظر، المقالات 1–3 (1989)؛ مقالة صبرة "Ibn al-Haytham" في DSB؛ راشد، Les mathématiques infinitésimales du IXe au XIe siècle؛ كاتز؛ A. Mark Smith، From Sight to Light (2015).
البيروني¶
أبو الريحان محمد بن أحمد البيروني (973–1048) · خوارزم، غزنة · الرياضيات، الفلك، مساحة الأرض، تاريخ العلم
ربما كان أكثر علماء العصر موسوعية: رياضي، وفلكي، وجغرافي، ومؤرخ، ولغوي (تعلّم السنسكريتية وكتب الدراسة الإثنوغرافية العلمية الكبرى تحقيق ما للهند من مقولة)، وعالم معادن. ومن أبرز إنجازاته الرياضية:
مساحة الأرض. قياسه لنصف قطر الأرض برصد انخفاض الأفق من قمة جبل معلوم الارتفاع (في منطقة البنجاب) قطعةٌ شهيرة من علم المثلثات التطبيقي، لا يتطلب إلا إسطرلاباً والجبل، ويعطي قيمة قريبة من الأرقام الحديثة (وتجعل الشكوك حول وحدات القياس في المخطوطات ادعاءات الدقة التامة زلقة؛ فالمنهج هو المقصود).
علم المثلثات. يتضمن القانون المسعودي (ح. ثلاثينيات القرن الحادي عشر)، وهو موسوعة فلكية، جداول وطرائق مثلثية في أعلى مستوى في عصرها؛ وتجمع رسالته المستقلة في الأوتار (استخراج الأوتار في الدائرة) ثروةً من هندسة الدائرة وتبرهن عليها. وعالج مسألة القبلة معالجة حاسمة في تحديد نهايات الأماكن لتصحيح مسافات المساكن، وهي دراسة في الجغرافيا الرياضية.
التحليل العددي. لتثليث الزوايا / حساب \(\sin 1°\) (الذي يؤدي إلى معادلة تكعيبية غير قابلة للاختزال)، استعمل تقنيات تكرارية واستيفائية عالية الإتقان، وناقش صراحةً المعادلة التكعيبية لوتر المتسّع المنتظم.
الظل. كتابه إفراد المقال في أمر الظلال أوفى دراسة وسيطة لدالتَي الظل وظل التمام ولعلم المزاول.
الانتقال. لم يُترجم من أعمال البيروني إلى اللاتينية إلا القليل، مما يجعله المثال الدائم على أن سقف التقليد الإسلامي كان أعلى بكثير مما تلقته أوروبا. وقد كان لعمله تأثير هائل شرقاً (فارس، الهند)، وهو اليوم مصدر أولي للمؤرخين في حضارات متعددة.
المصادر: دراسات E. S. Kennedy العديدة عن البيروني؛ DSB (Kennedy، "al-Biruni")؛ بيرغرن، Episodes، الفصل 6؛ الترجمات الإنجليزية: Sachau (الهند، الآثار الباقية)، Jamil Ali (تحديد نهايات الأماكن)، Kennedy (الظلال).
ابن سينا¶
أبو علي الحسين بن سينا (980–1037) · بخارى، فارس · الفلسفة، الطب، مع أقسام رياضية
عُرف باللاتينية باسم Avicenna. أُدرج هنا استكمالاً: فموسوعته كتاب الشفاء تتضمن أقساماً رياضية مهمة — تحريراً لإقليدس، وحساباً يتناول موضوعات مثل ميزان التسعة بروح برهانية، ونظرية الموسيقى، والفلك — شكّلت طريقة تعليم الرياضيات ضمن مناهج الفلسفة قروناً في العالم الإسلامي وفي أوروبا (عبر الترجمة اللاتينية لأجزاء من الشفاء). لم يكن رياضياً مبدعاً من الطراز الأول، لكنه كان قناةً رئيسية للثقافة الرياضية.
المصادر: DSB؛ كاتز.
ابن السمح ومدرسة الأندلس¶
ابن السمح (984–1035، غرناطة) · الهندسة، الفلك · والزرقالي (Azarquiel) (ح. 1029–1100، طليطلة/قرطبة) · الفلك، الآلات
كتب ابن السمح، تلميذ مدرسة مسلمة المجريطي، في مقاطع الأسطوانة (وقد بقيت رسالته في القطع الناقص بوصفه مقطعاً مستوياً عبر نقل عبري) وفي الإسطرلاب. أما الزرقالي، بعده بجيل، فهو الشخصية الأندلسية الأبرز: المؤلف الرئيسي لـجداول طليطلة، الزيج (المكيَّف عن الخوارزمي والبتاني وأرصاد جديدة في طليطلة) الذي صار، في ترجمته اللاتينية، الجداول الفلكية المعتمدة في أوروبا طوال قرنين، حتى حلّت محلها الجداول الألفونسية (التي أنتجها هي نفسها برنامج بلاط قشتالي عامل في التقليد العربي). وقد اخترع الصفيحة (saphaea)، وهي صفيحة إسطرلاب عامة تصلح لأي عرض جغرافي، ووصف مدار عطارد بمنحنى بيضوي، واستشهد كوبرنيكوس في De revolutionibus بقيمته لحركة أوج الشمس.
المصادر: DSB (J. Vernet، "al-Zarqali")؛ Samsó؛ كينيدي، Survey؛ دراسة Toomer لجداول طليطلة.
ابن معاذ الجياني¶
أبو عبد الله محمد بن معاذ الجياني (989 – ح. 1079) · جيّان، الأندلس · علم المثلثات، الفلك
صاحب كتاب مجهولات قسيّ الكرة، أول رسالة مخصصة لعلم المثلثات الكروي بوصفه علماً مستقلاً (لا فصلاً من علم الفلك)، يحل فيها المثلثات الكروية بصورة منهجية من عناصر معلومة. أما هل استقى من المدرسة المشرقية (أبو نصر وغيره) أم عمل مستقلاً، فذلك موضع خلاف؛ وعلى أي حال، تمثل الرسالة وصول علم المثلثات إلى الأندلس علماً ناضجاً، في موقع ملائم للانتقال شمالاً. وقد انتشرت رسالته في الشفق (تقدير ارتفاع الانكسار الجوي) باللاتينية، ونُسبت خطأً طويلاً إلى ابن الهيثم.
المصادر: تحقيق M. V. Villuendas؛ DSB؛ فان برومِّلن، The Mathematics of the Heavens and the Earth.
المؤتمن بن هود¶
يوسف المؤتمن بن هود (ت. 1085) · سرقسطة · الهندسة
ملك طائفة سرقسطة (حكم 1081–1085) وعالم هندسة باحث جادّ، وهو اجتماع قلّ نظيره. وكتابه الاستكمال، الذي أعاد اكتشافه وحلّله يان هوجنديك في ثمانينيات القرن العشرين، تأليفٌ جامع للمتن الهندسي اليوناني والعربي يتضمن نتائج أصيلة، منها المبرهنة المتعلقة بالنِّسَب التي تقطعها المستقيمات المارة برؤوس المثلث، المعروفة اليوم بـمبرهنة سيفا، قبل جيوفاني سيفا (1678) بستة قرون. ولا يوجد توثيق لأي مسار انتقال من سرقسطة إلى سيفا؛ فهي سبقٌ مستقل. وقد انتشر الاستكمال شرقاً (عرفه موسى بن ميمون ودرّسه).
المصادر: J. P. Hogendijk، "Discovery of an 11th-century geometrical compilation: the Istikmal of Yusuf al-Mu'taman ibn Hud"، Historia Mathematica 13 (1986)؛ ملحق DSB.
عمر الخيام¶
غياث الدين أبو الفتح عمر بن إبراهيم الخيّامي (1048–1131) · نيسابور، أصفهان · الجبر، الهندسة، الفلك (والشعر، بحسب النسبة)
اشتهر في الغرب بـالرباعيات (ونسبة كثير من ذلك الشعر إليه مسألة أكاديمية شائكة مستقلة)؛ أما في تاريخ الرياضيات فاشتهر بإنجازين.
المعادلات التكعيبية. تقدّم رسالته في البراهين على مسائل الجبر والمقابلة (ح. 1070، أصفهان) أول نظرية منهجية لـالمعادلات التكعيبية: فهو يصنّف جميع المعادلات التكعيبية (أربعة عشر نوعاً غير قابلة للرد إلى درجة أدنى، وفق اصطلاح المعاملات الموجبة)، ويحل كل نوع هندسياً بتقاطع القطوع المخروطية — دائرة مع قطع مكافئ، وقطعان زائدان، وهكذا — مبرهناً على صحة الإنشاءات. ويصرّح بأنه لم يستطع إيجاد حلول حسابية (جبرية)، ويعبّر عن أمله في أن يجدها من يأتي بعده، وهو أمل تحقق في إيطاليا بين عشرينيات القرن السادس عشر وأربعينياته (ديل فيرو، تارتاليا، كاردانو). وأدرك أيضاً أن للمعادلة التكعيبية جذرين (موجبين) أحياناً، وتلخص ملاحظته أن "الجبر ليس مجموعة حِيَل بل حقائق هندسية مبرهنة" الوعيَ الذاتي الجديد لهذا العلم. أما هل عرف الجبريون الإيطاليون نص الخيام، فمشكوك فيه (فلا تُعرف له ترجمة لاتينية)؛ غير أن المنهج الهندسي القائم على القطوع المخروطية يعود للظهور في الهندسة لديكارت (1637)، الذي يحل المعادلات التكعيبية والرباعية بتقاطع القطوع المخروطية بروح الخيام تماماً.
المتوازيات والنِّسَب. يتصدى كتابه شرح ما أشكل من مصادرات كتاب إقليدس (1077) لمصادرة التوازي عبر الرباعي ذي الزاويتين القائمتين (ضلعان متساويان عموديان على القاعدة؛ ثم تحديد ما إذا كانت زاويتا القمة قائمتين أو حادتين أو منفرجتين)، وهو بالضبط الشكل الذي سُمّي لاحقاً رباعي ساكيري (1733)، ولا يدحض حالتَي الحادة والمنفرجة إلا باستيراد مصادرة مكافئة، كما يجب على كل المحاولات من هذا النوع. ويعمّق الكتاب نفسه نظرية النسبة والتناسب، محتجاً لمعاملة النِّسَب أعداداً، وهي خطوة نحو المفهوم الحديث للعدد الحقيقي.
التقويم. بصفته رئيساً لمرصد أصفهان في عهد ملكشاه، قاد الإصلاح الذي أنتج التقويم الجلالي (1079)، الذي يعطي نظامُ الكبس فيه سنةً وسطى دقيقة بما يقارب يوماً واحداً في عدة آلاف من السنين، وهو أدق من القاعدة الغريغورية.
المصادر: Rashed وVahabzadeh، Omar Khayyam the Mathematician (2000)؛ بيرغرن، Episodes، الفصل 4؛ كاتز؛ DSB (Youschkevitch وRosenfeld، "al-Khayyami")؛ روزنفلد، A History of Non-Euclidean Geometry.