Ère III — L'Âge d'Or (c. 1000–1100)¶
Le XIe siècle produisit plusieurs des plus grands savants de tout le monde médiéval, d'Orient comme d'Occident : Ibn al-Haytham, al-Biruni et (débordant sur le XIIe siècle) Omar Khayyam. Pendant ce temps, al-Andalus mûrit pour devenir un centre mathématique dont la production allait bientôt se déverser dans le latin.
Abu Nasr Mansur¶
Abu Nasr Mansur ibn Ali ibn Iraq (c. 960 – c. 1036) · Khwarezm, Ghazna · trigonométrie, géométrie
Prince de la maison régnante du Khwarezm, maître et collaborateur de toute une vie d'al-Biruni (ils échangèrent des traités dédicacés pendant des décennies). L'un des trois prétendants à la loi des sinus sphérique, et auteur de l'édition arabe de référence des Sphériques de Ménélaüs, le texte fondateur de la géométrie sphérique, qui survit à travers sa recension. Ses travaux remplacèrent systématiquement le lourd théorème de la figure de Ménélaüs par les méthodes plus nettes de la règle des sinus, qui rendirent l'astronomie sphérique humainement calculable.
Sources : DSB ; Berggren, Episodes, ch. 6 ; Kennedy.
al-Nasawi¶
Abu al-Hasan Ali ibn Ahmad al-Nasawi (c. 1011 – c. 1075) · Khorassan, Bagdad · arithmétique
Élève de la tradition de Kushyar ibn Labban ; son al-Muqni fi al-Hisab al-Hindi (écrit d'abord en persan, puis en arabe) prolongea la lignée des manuels d'arithmétique décimale, traitant des fractions, de l'extraction des racines (avec les raffinements d'approximation typiques de l'école) et critiquant les exposés de ses prédécesseurs. Précieux pour les historiens précisément parce qu'il passe en revue et compare les méthodes antérieures.
Sources : DSB ; les études de Saidan sur l'arithmétique arabe.
Ibn Tahir al-Baghdadi¶
Abd al-Qahir ibn Tahir al-Baghdadi (m. 1037) · Bagdad, Nishapur · arithmétique, théorie des nombres
Théologien et mathématicien ; son al-Takmila fi al-Hisab (« Complément d'arithmétique ») passe en revue les systèmes de numération en usage à son époque — décimal indien, calcul digital, sexagésimal — et traite de questions de théorie des nombres, dont un résultat sur les nombres équivalents (paires dont les sommes de diviseurs propres ont une valeur égale) allant au-delà du matériau grec, ainsi qu'une discussion améliorée des nombres amiables et parfaits.
Sources : l'édition et les études de Saidan ; DSB.
Ibn al-Haytham¶
Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham (c. 965 – c. 1040) · Bassora, puis Le Caire · optique, géométrie, astronomie, méthode
Latinisé en Alhazen (d'après al-Hasan). L'un des plus importants savants du Moyen Âge, toutes civilisations confondues.
Optique. Le Kitab al-Manazir en sept livres (« Livre de l'optique », c. 1011–1021, composé au Caire) refonda la science de la vision sur la théorie de l'intromission (la lumière va des objets vers l'œil), fusionna les traditions mathématique (Euclide, Ptolémée) et médicale (Galien) et, de manière décisive pour l'histoire des sciences, argumenta par l'expérimentation systématique : dispositifs contrôlés avec chambres noires (la camera obscura correctement analysée pour la première fois), ouvertures et réfractions mesurées. Le « problème d'Alhazen » — trouver le point de réflexion sur un miroir sphérique entre un objet et un œil donnés — se ramène à une équation du quatrième degré qu'il résolut géométriquement au moyen de coniques ; des solutions algébriques ne furent obtenues que des siècles plus tard par des mathématiciens européens (Huygens en donna un traitement célèbre).
Mathématiques. Il calcula la somme des puissances quatrièmes \(\sum k^4\) (et donna une méthode s'étendant à toute puissance entière) par un argument télescopique/récursif, et utilisa le résultat pour calculer le volume d'un paraboloïde de révolution autour de sa base — une véritable intégration, sauf le nom ; les formules de sommation sont exactement celles dont Cavalieri et Fermat auraient besoin pour \(\int x^n\,dx\) au XVIIe siècle. Il s'attaqua au postulat des parallèles au moyen de la configuration aujourd'hui appelée « quadrilatère de Lambert » (trois angles droits, étudier le quatrième), étudia les lunules et la quadrature de figures liées au cercle, et écrivit Sur l'analyse et la synthèse des problèmes mathématiques.
Astronomie. Ses Doutes sur Ptolémée (al-Shukuk ala Batlamyus) recensèrent les incohérences physiques des modèles planétaires ptoléméens (équant, prosneusis), fixant le programme critique que l'école de Maragha exécuta ensuite.
Transmission. L'Optique fut traduite en latin vers 1200 sous les titres De aspectibus / Perspectiva et façonna tout le monde : Roger Bacon, Witelo, Pecham, les perspectivistes de la Renaissance (Ghiberti le cite) et Kepler, dont les Ad Vitellionem Paralipomena (1604), œuvre fondatrice de l'optique moderne, sont conçus comme un supplément à la tradition Alhazen-Witelo. L'édition imprimée de Risner en 1572, Opticae thesaurus, fit référence jusqu'au XVIIe siècle.
Sources : l'édition et la traduction anglaise de l'Optique, livres I–III, par A. I. Sabra (1989) ; l'article « Ibn al-Haytham » de Sabra dans le DSB ; Rashed, Les mathématiques infinitésimales du IXe au XIe siècle ; Katz ; A. Mark Smith, From Sight to Light (2015).
al-Biruni¶
Abu Rayhan Muhammad ibn Ahmad al-Biruni (973–1048) · Khwarezm, Ghazna · mathématiques, astronomie, géodésie, histoire des sciences
Peut-être le savant le plus universel de l'époque : mathématicien, astronome, géographe, historien, linguiste (il apprit le sanskrit et écrivit la grande étude ethnographique et scientifique L'Inde) et minéralogiste. Points forts mathématiques :
Géodésie. Sa mesure du rayon de la Terre par l'observation de l'abaissement de l'horizon depuis une montagne de hauteur mesurée (dans la région du Pendjab) est un morceau de bravoure célèbre de la trigonométrie appliquée, qui ne requiert qu'un astrolabe et la montagne, et donne une valeur proche des chiffres modernes (les incertitudes sur les unités des manuscrits rendent les affirmations de précision exacte glissantes ; c'est la méthode qui compte).
Trigonométrie. Son Qanun al-Mas'udi (le « Canon masoudien », c. années 1030), une encyclopédie astronomique, contient des tables et des méthodes trigonométriques à la pointe de leur temps ; son traité distinct sur les cordes rassemble et démontre une foule de résultats de géométrie du cercle. Il traita le problème de la qibla de manière définitive dans La détermination des coordonnées des villes, une monographie de géographie mathématique.
Analyse numérique. Pour trisecter les angles / calculer \(\sin 1°\) (ce qui conduit à une cubique irréductible), il utilisa des techniques itératives et d'interpolation d'une grande sophistication, et il discuta explicitement l'équation cubique donnant la corde de l'ennéagone régulier.
L'ombre. Son Traité exhaustif sur les ombres est l'étude médiévale la plus complète des fonctions tangente et cotangente et de la gnomonique.
Transmission. Peu d'œuvres d'al-Biruni furent traduites en latin, ce qui fait de lui l'exemple permanent que le plafond de la tradition islamique était bien au-dessus de ce que l'Europe reçut. Son œuvre eut une influence considérable vers l'est (Perse, Inde) et constitue aujourd'hui une source primaire pour les historiens de plusieurs civilisations.
Sources : les nombreuses études d'E. S. Kennedy sur al-Biruni ; DSB (Kennedy, « al-Biruni ») ; Berggren, Episodes, ch. 6 ; traductions anglaises : Sachau (India, Chronology), Jamil Ali (Coordinates of Cities), Kennedy (Shadows).
Ibn Sina¶
Abu Ali al-Husayn ibn Sina (980–1037) · Boukhara, Perse · philosophie, médecine, avec des sections mathématiques
Latinisé en Avicenne. Inclus ici par souci d'exhaustivité : son encyclopédique Kitab al-Shifa (« Livre de la guérison ») contient d'importantes sections mathématiques — une recension d'Euclide, une arithmétique traitant de sujets comme la preuve par neuf dans un esprit démonstratif, de la théorie musicale et de l'astronomie — qui façonnèrent pendant des siècles la manière d'enseigner les mathématiques dans les cursus de philosophie, dans le monde islamique comme en Europe (par la traduction latine de parties du Shifa). Ce n'était pas un mathématicien original de premier rang, mais un canal majeur de la culture mathématique.
Sources : DSB ; Katz.
Ibn al-Samh et l'école d'al-Andalus¶
Ibn al-Samh (984–1035, Grenade) · géométrie, astronomie · et al-Zarqali (Azarquiel) (c. 1029–1100, Tolède/Cordoue) · astronomie, instruments
Ibn al-Samh, élève de l'école de Maslama al-Majriti, écrivit sur les sections du cylindre (son traité sur l'ellipse comme section plane survit par une transmission hébraïque) et sur l'astrolabe. Al-Zarqali, une génération plus tard, est la figure andalouse dominante : auteur principal des Tables de Tolède, le zij (adapté d'al-Khawarizmi, d'al-Battani et de nouvelles observations faites à Tolède) qui, en traduction latine, devint la table astronomique de référence de l'Europe pendant deux siècles, jusqu'à ce que lui succèdent les Tables alphonsines (elles-mêmes produites par un programme de la cour castillane travaillant dans la tradition arabe). Il inventa la safiha (saphaea), un tympan d'astrolabe universel utilisable à toute latitude, décrivit l'orbite de Mercure par une courbe ovale, et sa valeur du mouvement de l'apogée solaire fut citée par Copernic dans le De revolutionibus.
Sources : DSB (J. Vernet, « al-Zarqali ») ; Samsó ; Kennedy, Survey ; l'étude de Toomer sur les Tables de Tolède.
Ibn Mu'adh al-Jayyani¶
Abu Abdallah Muhammad ibn Mu'adh al-Jayyani (989 – c. 1079) · Jaén, al-Andalus · trigonométrie, astronomie
Auteur du Livre des arcs inconnus de la sphère, le premier traité consacré à la trigonométrie sphérique en tant que discipline indépendante (et non comme chapitre de l'astronomie), résolvant systématiquement les triangles sphériques à partir d'éléments donnés. Qu'il se soit inspiré de l'école orientale (Abu Nasr et d'autres) ou qu'il ait travaillé indépendamment est débattu ; quoi qu'il en soit, le traité marque l'arrivée en al-Andalus de la trigonométrie comme discipline mûre, idéalement placée pour une transmission vers le nord. Son traité sur le crépuscule (estimant la hauteur de la réfraction atmosphérique) circula en latin, longtemps attribué à tort à Alhazen.
Sources : l'édition de M. V. Villuendas ; DSB ; Van Brummelen, The Mathematics of the Heavens and the Earth.
al-Mu'taman ibn Hud¶
Yusuf al-Mu'taman ibn Hud (m. 1085) · Saragosse · géométrie
Roi de la taïfa de Saragosse (r. 1081–1085) et géomètre chercheur sérieux, une combinaison qui a peu d'équivalents. Son Kitab al-Istikmal (« Livre de la perfection »), redécouvert et analysé par Jan Hogendijk dans les années 1980, est une synthèse du corpus géométrique grec et arabe contenant des résultats originaux, dont le théorème sur les rapports découpés par les céviennes d'un triangle aujourd'hui connu sous le nom de théorème de Ceva, six siècles avant Giovanni Ceva (1678). Aucune voie de transmission de Saragosse jusqu'à Ceva n'est documentée ; il s'agit d'une anticipation indépendante. L'Istikmal circula vers l'est (Maïmonide le connaissait et l'enseignait).
Sources : J. P. Hogendijk, « Discovery of an 11th-century geometrical compilation: the Istikmal of Yusuf al-Mu'taman ibn Hud », Historia Mathematica 13 (1986) ; supplément du DSB.
Omar Khayyam¶
Ghiyath al-Din Abu al-Fath Umar ibn Ibrahim al-Khayyami (1048–1131) · Nishapur, Ispahan · algèbre, géométrie, astronomie (et, par attribution, poésie)
Célèbre en Occident pour les Rubaïyat (l'attribution d'une grande partie de cette poésie est un écheveau savant distinct) ; dans l'histoire des mathématiques, célèbre pour deux réalisations.
Les cubiques. Son Traité sur la démonstration des problèmes d'algèbre (c. 1070, Ispahan) donne la première théorie systématique des équations cubiques : il classe toutes les cubiques (quatorze types non réductibles à un degré inférieur, selon les conventions de coefficients positifs), et résout chaque type géométriquement par intersection de sections coniques — un cercle et une parabole, deux hyperboles, etc. —, en démontrant la justesse des constructions. Il déclare franchement ne pas avoir pu trouver de solutions arithmétiques (algébriques) et exprime l'espoir que ses successeurs y parviendront, espoir comblé dans l'Italie des années 1520–1540 (del Ferro, Tartaglia, Cardan). Il reconnut aussi qu'une cubique peut avoir deux racines (positives), et sa remarque selon laquelle « l'algèbre n'est pas un recueil d'astuces mais des faits géométriques démontrés » saisit la nouvelle conscience de soi de la discipline. Que les algébristes italiens aient connu le texte de Khayyam est douteux (aucune traduction latine n'est connue) ; l'approche géométrique par les coniques réapparaît cependant dans la Géométrie de Descartes (1637), qui résout les cubiques et les quartiques par intersection de coniques exactement dans l'esprit de Khayyam.
Les parallèles et les rapports. Son Explication des difficultés des postulats d'Euclide (1077) s'attaque au postulat des parallèles au moyen du quadrilatère birectangle (côtés égaux perpendiculaires à la base ; déterminer si les angles au sommet sont droits, aigus ou obtus), exactement la figure appelée plus tard quadrilatère de Saccheri (1733), et ne réfute les cas aigu et obtus qu'en introduisant un postulat équivalent, comme toutes ces tentatives doivent le faire. Le même ouvrage approfondit la théorie des rapports et des proportions, plaidant pour que les rapports soient traités comme des nombres — un pas vers le concept moderne de nombre réel.
Le calendrier. À la tête de l'observatoire d'Ispahan sous Malik-Shah, il dirigea la réforme qui produisit le calendrier jalali (1079), dont le schéma d'intercalation donne une année moyenne exacte à environ un jour près sur plusieurs milliers d'années, plus précise que la règle grégorienne.
Sources : Rashed & Vahabzadeh, Omar Khayyam the Mathematician (2000) ; Berggren, Episodes, ch. 4 ; Katz ; DSB (Youschkevitch & Rosenfeld, « al-Khayyami ») ; Rosenfeld, A History of Non-Euclidean Geometry.