Ère V — Maragha et le XIIIe Siècle (1200–1300)¶
Après la conquête mongole de Bagdad (1258), le centre de gravité scientifique se déplaça vers le grand observatoire de Maragha, dans le nord-ouest de la Perse, fondé en 1259 sous Hulagu Khan à l'instigation de Nasir al-Din al-Tusi. Maragha fonctionnait comme un institut de recherche doté d'une bibliothèque, d'ateliers d'instruments, d'un personnel international (comprenant au moins un astronome chinois) et d'un programme de recherche : réparer les incohérences physiques de l'astronomie ptoléméenne au moyen de nouveaux dispositifs mathématiques. À l'ouest, l'école maghrébine perfectionna le manuel d'arithmétique.
Nasir al-Din al-Tusi¶
Muhammad ibn Muhammad ibn al-Hasan al-Tusi (1201–1274) · Tus, Alamut, Maragha · trigonométrie, astronomie, géométrie, philosophie
La personnalité scientifique dominante du siècle : philosophe, théologien, astronome, mathématicien et administrateur scientifique qui persuada un conquérant mongol de financer un observatoire.
La trigonométrie comme science indépendante. Son Kitab al-Shakl al-qatta (« Traité du quadrilatère complet », c. 1260) est le premier traité complet dans lequel la trigonométrie est développée pour elle-même, détachée de l'astronomie : trigonométrie plane et sphérique systématique, les six fonctions, les lois des sinus plane et sphérique avec démonstrations, et la résolution complète des triangles à partir de données, y compris la méthode du triangle polaire pour le cas de trois angles donnés sur la sphère. Rien de comparable n'existe en Europe avant le De triangulis de Regiomontanus (écrit en 1464), qui couvre à peu près le même terrain ; que Regiomontanus ait eu un accès indirect à des matériaux de l'école de Tusi reste débattu par les historiens.
Le couple de Tusi. Dans sa Tadhkira fi ilm al-hay'a (« Mémoire d'astronomie », 1261), Tusi introduisit le théorème selon lequel, si un cercle roule à l'intérieur d'un autre de diamètre double, tout point du petit cercle décrit une ligne droite — le « couple de Tusi ». Il convertit deux mouvements circulaires uniformes en une oscillation linéaire, permettant aux astronomes d'éliminer l'équant de Ptolémée et de construire des modèles planétaires à partir de mouvements circulaires uniformes seulement. Mathématiquement, c'est un cas particulier de mouvement hypocycloïdal ; mécaniquement, il réapparaît en ingénierie comme principe de mécanisme à mouvement rectiligne. Le même dispositif géométrique, avec les mêmes lettres de figure selon une comparaison de manuscrits clé, apparaît chez Copernic, dans le De revolutionibus (1543), III.4 ; que Copernic l'ait réinventé ou reçu par l'intermédiaire de Grecs byzantins (un manuscrit grec contenant du matériel sur le couple de Tusi parvint en Italie au XVe siècle) est l'un des débats les plus vifs de l'histoire de l'astronomie. Voir Connexions Renaissance.
La géométrie et les parallèles. Sa recension d'Euclide et sa discussion du postulat des parallèles prolongèrent la lignée de Khayyam ; un ouvrage apparenté publié à Rome en 1594 sous son nom (aujourd'hui généralement attribué à son fils ou à son école, le « pseudo-Tusi ») fut lu par John Wallis et cité par Saccheri dans l'Euclides ab omni naevo vindicatus (1733), ce qui place de manière documentée la tradition islamique des parallèles dans la préhistoire directe de la géométrie non euclidienne.
Éditions. Ses tahrir (recensions) d'Euclide, de Ptolémée et des « livres intermédiaires » (Archimède, Apollonius, Ménélaüs, Théodose, Autolycos, Thabit et d'autres) devinrent pendant des siècles le programme d'études de référence des mathématiques islamiques — un programme d'édition de manuels mené par un seul homme.
Sources : DSB (S. H. Nasr, « al-Tusi ») ; F. J. Ragep, Nasir al-Din al-Tusi's Memoir on Astronomy (1993, édition et traduction de la Tadhkira) ; Van Brummelen ; Rosenfeld ; Saliba, Islamic Science and the Making of the European Renaissance.
al-Urdi¶
Mu'ayyad al-Din al-Urdi (m. 1266) · Damas, puis Maragha · astronomie, géométrie, ingénierie
Chef constructeur d'instruments de l'observatoire de Maragha (son traité décrivant ces instruments a survécu) et auteur du Kitab al-Hay'a, qui introduisit le lemme d'Urdi : une transformation géométrique éliminant l'équant (un dispositif à petit épicycle convertissant un mouvement non uniforme autour d'un centre en un mouvement uniforme autour d'un autre), élaborée avant la fondation de l'observatoire. Le lemme d'Urdi et le couple de Tusi forment la boîte à outils standard du programme planétaire de Maragha, et le lemme réapparaît, là encore à l'identique, dans les modèles de Copernic pour les planètes supérieures ; Copernic ne le démontre pas, ce que les historiens (Saliba, Swerdlow) interprètent comme l'indice d'un héritage plutôt que d'une réinvention. Cette inférence reste débattue.
Sources : l'édition et les études d'al-Urdi par G. Saliba ; Swerdlow & Neugebauer, Mathematical Astronomy in Copernicus's De Revolutionibus ; DSB.
Muhyi al-Din al-Maghribi¶
Muhyi al-Din al-Maghribi (c. 1220–1283) · al-Andalus/Maghreb, Damas, Maragha · trigonométrie, astronomie
Un Occidental qui rejoignit le personnel de Maragha après la chute de Damas. Il mena à Maragha un long programme d'observation (ses relevés, analysés par George Saliba, comptent parmi les meilleurs témoignages des méthodes de travail réelles de l'observatoire) et calcula de nouveaux paramètres planétaires. Sur le plan mathématique, il travailla sur les problèmes classiques (trisection de l'angle, heptagone régulier), sur le postulat des parallèles d'Euclide et sur le calcul de précision des cordes et des sinus, notamment une détermination itérative de la corde de 1°, une voie qu'al-Kashi perfectionnerait.
Sources : les études de Saliba sur les observations d'al-Maghribi ; DSB ; la bio-bibliographie de Rosenfeld & Ihsanoglu.
Qutb al-Din al-Shirazi¶
Qutb al-Din Mahmud al-Shirazi (1236–1311) · Chiraz, Maragha, Tabriz · astronomie, optique, médecine
Élève de Nasir al-Din al-Tusi à Maragha ; esprit universel (il produisit aussi un célèbre commentaire du Canon médical d'Avicenne). En astronomie, sa Nihayat al-Idrak et sa al-Tuhfa al-Shahiyya affinèrent la modélisation planétaire non ptoléméenne, travail poursuivi en optique par son élève al-Farisi et mené parallèlement plus tard par Ibn al-Shatir. En optique, il encouragea le réexamen d'Ibn al-Haytham par al-Farisi, qui produisit la première explication qualitative correcte de l'arc-en-ciel (voir al-Farisi, Ère VI) ; Shirazi esquissa lui-même l'idée de la double réfraction accompagnée d'une réflexion. Les travaux de Shirazi et Farisi sur l'arc-en-ciel sont contemporains de l'explication européenne semblable de Thierry de Freiberg (c. 1304–1310), et indépendants d'elle — un cas frappant de découverte simultanée à partir de l'héritage commun d'Alhazen.
Sources : DSB ; Boyer, The Rainbow: From Myth to Mathematics ; Saliba.
Ibn al-Banna¶
Ahmad ibn Muhammad ibn al-Banna al-Marrakushi (1256 – c. 1321) · Marrakech, Fès · arithmétique, algèbre, combinatoire
Le grand systématiseur de l'école maghrébine. Son Talkhis amal al-hisab (« Abrégé des opérations arithmétiques ») devint le manuel d'arithmétique de l'Afrique du Nord pendant deux siècles, suscitant des dizaines de commentaires (dont celui d'al-Qalasadi, véhicule de la notation symbolique). Il traite de l'arithmétique décimale, des fractions avec la notation à barre, des proportions, de l'approximation des racines (y compris des règles de raffinement du type \(\sqrt{a^2+r} \approx a + \frac{r}{2a+1}\)), de la fausse position et de l'algèbre.
Combinatoire. Dans le Raf al-Hijab, Ibn al-Banna établit des règles équivalentes aux formules des combinaisons et des permutations — \(\binom{n}{k}\) par la règle multiplicative \(\binom{n}{k}=\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}\) —, motivé en partie par une tradition véritablement combinatoire dans l'érudition maghrébine (dénombrement de mots, de conjonctions astrologiques, etc.) qui remonte au Fiqh al-Hisab d'Ibn Mun'im (début du XIIIe s., Marrakech), où des tables du triangle de Pascal sont construites pour des problèmes de dénombrement — l'un des tout premiers endroits, où que ce soit, où la table binomiale est lue de manière combinatoire plutôt qu'algébrique.
Sources : les éditions et études de Djebbar ; A. Djebbar & M. Aballagh sur Ibn al-Banna ; Katz (qui discute la combinatoire d'Ibn Mun'im) ; Lamrabet.