Algèbre

Née, et non Empruntée

Les problèmes que nous exprimerions par des équations sont plus anciens que l'écriture ; les scribes babyloniens résolvaient des équations du second degré, et Diophante manipulait les équations avec virtuosité. Ce qu'al-Khawarizmi créa vers 820, c'est l'algèbre en tant que discipline : une matière nommée (al-jabr wa-l-muqabala) avec ses propres objets primitifs (le nombre, la racine/chose shay, le carré mal), une classification complète de ses problèmes de base (les six types d'équations de degré ≤ 2), des procédures générales de résolution énoncées pour tous les cas, des démonstrations que ces procédures fonctionnent, et un programme d'applications (héritage, commerce, arpentage). La différence entre un sac de problèmes résolus et une discipline tient exactement à cette architecture, et c'est pourquoi la matière porte le mot de son livre, algèbre, et non un mot grec ou sanskrit.

Le Développement, Étape par Étape

Étape 1 — Fondation (al-Khawarizmi, c. 820). Six types, style rhétorique (tout est exprimé en mots), démonstrations géométriques par complétion de carrés au sens littéral. Coefficients et racines uniquement positifs ; une équation du second degré comme \(x^2 + 21 = 10x\) est reconnue comme ayant deux solutions (3 et 7).

Étape 2 — Puissance (Abu Kamil, c. 900). Abu Kamil travaille librement avec des coefficients et des solutions irrationnels (des réponses du type \(x = \sqrt{5} - 1\)), des puissances supérieures et des systèmes complexes. L'algèbre peut désormais assimiler tout nombre que la géométrie de l'époque est capable de produire.

Étape 3 — Arithmétisation (al-Karaji, c. 1000 ; al-Samawal, c. 1150). al-Karaji détache l'algèbre de la démonstration géométrique et traite les expressions en \(x\) selon les règles de l'arithmétique ; al-Samawal achève le programme : division euclidienne des polynômes, exposants négatifs avec la loi \(x^m x^n = x^{m+n}\), tableaux de coefficients qui ne sont qu'à un pas notationnel de l'écriture des polynômes comme vecteurs de coefficients, et démonstrations de type récurrence. C'est l'algèbre qui « opère sur l'inconnue comme si elle était connue », le geste mental qui définit la discipline, énoncé comme tel.

Étape 4 — La frontière cubique (d'al-Mahani à Khayyam puis à Sharaf al-Din, 860–1200). Le problème de la division de la sphère conduit à une équation cubique (al-Mahani) ; al-Khazin la résout au moyen de coniques ; Omar Khayyam systématise : les quatorze types de cubiques irréductibles sont tous résolus par intersection de sections coniques, avec l'affirmation explicite que les solutions arithmétiques font défaut et sont souhaitées. Sharaf al-Din al-Tusi analyse ensuite l'existence et le nombre des racines au moyen du maximum de l'expression cubique et approche numériquement les racines par un schéma chiffre par chiffre de type Horner. À eux deux, ces Persans détiennent la théorie des équations la plus avancée au monde jusqu'à l'Italie du XVIe siècle.

Étape 5 — Symbolisme (Maghreb, XIIe–XVe s.). L'école maghrébine élabore des signes écrits pour l'inconnue, ses puissances, les racines et l'égalité, et calcule avec eux — une véritable algèbre symbolique, codifiée par al-Qalasadi (m. 1486), indépendante de celle de Viète et antérieure à elle.

Ce que l'Europe Reçut, et ce qu'elle fit Repousser

L'Europe reçut directement l'Étape 1 : l'al-Khawarizmi latin de Robert de Chester et de Gérard de Crémone (XIIe s.), plus Abu Kamil en latin et en hébreu, plus la synthèse massive de Fibonacci (1202), qui transporte la classification d'al-Khawarizmi et les problèmes d'Abu Kamil dans la culture mathématique italienne. Les maestri d'abaco italiens ruminèrent les cubiques pendant trois siècles exactement dans ce cadre, jusqu'à ce que del Ferro (c. 1515) et Tartaglia trouvent la solution arithmétique que Khayyam avait souhaitée, publiée avec tout l'appareil voulu dans l'Ars Magna de Cardan (1545), dont la première page attribue l'origine de la discipline à « Mahomet, fils de Moïse l'Arabe » (al-Khawarizmi). Les Étapes 3 à 5 furent en grande partie réinventées sur le sol européen (Stifel, Cardan, Bombelli, Viète, Descartes) avec une transmission textuelle directe limitée — un schéma récurrent : la tradition islamique montre quels développements étaient mathématiquement naturels, même là où l'influence ne peut être documentée.

Lien avec les Mathématiques Modernes

Les réflexes fondamentaux de l'algèbre moderne remontent jusqu'ici : traiter les équations comme des objets à classer et à transformer (al-jabr et al-muqabala sont les premières transformations d'équations nommées, ancêtres de « ajouter aux deux membres ») ; le polynôme comme objet formel doté d'une arithmétique des coefficients (al-Karaji–al-Samawal) ; l'interaction de l'algèbre et de la géométrie dans la résolution d'équations par intersection de courbes (Khayyam → la Géométrie de Descartes, texte fondateur de la géométrie analytique, qui résout explicitement des équations par intersection de coniques) ; et le dénombrement des racines par l'analyse des extremums (Sharaf al-Din), germe du point de vue discriminant-et-dérivée. Même le \(x\) de chaque tableau a une ascendance possible dans shay (« chose »), via la translittération en vieil espagnol xay, bien que les historiens considèrent cette étymologie comme plausible mais non prouvée.

Sources : Rashed, The Development of Arabic Mathematics ; Berggren, Episodes, ch. 4 ; Katz ; Cardan, Ars Magna (traduction Witmer) ; les études d'Oaks & Alkhateeb sur l'algèbre rhétorique.