Ère I — Fondations (750–900)¶
Les 150 premières années de la tradition : la traduction des mathématiques grecques et indiennes en arabe dans la Bagdad abbasside, et les premiers chefs-d'œuvre originaux bâtis sur ce fondement. Les dates de cette période sont souvent approximatives.
al-Fazari¶
Ibrahim al-Fazari et son fils Muhammad al-Fazari (VIIIe siècle, m. c. 796–806) · Bagdad · astronomie, instruments
Les Fazari se tiennent au seuil de la tradition. Lorsqu'une ambassade indienne apporta du matériel astronomique sanskrit à la cour du calife al-Mansur dans les années 770, Muhammad al-Fazari participa à sa traduction en arabe sous le titre de Zij al-Sindhind, le canal par lequel l'astronomie indienne et, point crucial, le système de numération décimale positionnelle entrèrent dans le monde islamique. Il est aussi traditionnellement compté parmi les premiers, dans le monde islamique, à avoir construit des astrolabes. Les données biographiques sur le père et le fils sont minces et en partie confondues dans les sources médiévales ; les historiens tiennent la plupart des détails personnels pour incertains.
Sources : DSB (D. Pingree, « al-Fazari ») ; Katz, chapitre sur les mathématiques islamiques.
al-Hajjaj ibn Yusuf ibn Matar¶
al-Hajjaj ibn Yusuf ibn Matar (fl. c. 786–833) · Bagdad · traduction
Le premier traducteur connu des Éléments d'Euclide en arabe, qui en produisit une version sous Harun al-Rashid et une version révisée sous al-Ma'mun. Il traduisit aussi l'Almageste de Ptolémée. Ses traductions mirent la méthode axiomatico-déductive de la géométrie grecque à la disposition du monde arabophone, et les Éléments qu'il transmit devinrent le manuel de géométrie universel de la tradition. Certaines parties de l'Euclide latin qu'utilisa l'Europe médiévale descendent, à travers des recensions arabes ultérieures, de la lignée de transmission d'al-Hajjaj.
Sources : DSB ; Berggren, Episodes, ch. 1.
Hunayn ibn Ishaq et Ishaq ibn Hunayn¶
Hunayn ibn Ishaq (809–873) et Ishaq ibn Hunayn (c. 830–910/911) · Bagdad · traduction
Hunayn, médecin chrétien nestorien, dirigea l'atelier de traduction le plus productif du IXe siècle et établit de nouvelles normes philologiques, collationnant plusieurs manuscrits grecs avant de traduire. Si sa propre production portait surtout sur la médecine, son fils Ishaq produisit les traductions des Éléments d'Euclide et de l'Almageste de Ptolémée qui, révisées par Thabit ibn Qurra, devinrent les textes mathématiques de référence du monde islamique. Les Éléments d'Ishaq–Thabit sont la version que la plupart des géomètres islamiques lisaient réellement.
Sources : DSB ; Gutas, Greek Thought, Arabic Culture.
al-Khawarizmi¶
Muhammad ibn Musa al-Khawarizmi (c. 780 – c. 850) · Bagdad (Maison de la Sagesse) · algèbre, arithmétique, astronomie, géographie
Le mathématicien le plus influent de l'époque et sans doute de toute la tradition. Deux ouvrages définissent son héritage :
L'Algèbre. Al-Kitab al-mukhtasar fi hisab al-jabr wa-l-muqabala (« Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison », c. années 820) est le document fondateur de l'algèbre comme discipline indépendante. Al-Khawarizmi classa les équations de degré au plus deux en six types standard (en notation moderne : \(ax^2 = bx\), \(ax^2 = c\), \(bx = c\), \(ax^2 + bx = c\), \(ax^2 + c = bx\), \(ax^2 = bx + c\), tous à coefficients positifs), donna des procédures de résolution systématiques pour chacun, et fournit des justifications géométriques dans le style de la complétion du carré — littéralement, avec des carrés. Les opérations al-jabr (restauration : faire passer un terme soustrait de l'autre côté de l'équation) et al-muqabala (comparaison : annuler les termes semblables) donnèrent son nom à la discipline : l'algèbre. La seconde moitié du livre applique la méthode aux problèmes d'héritage, à la mesure des figures et au commerce ; c'est un manuel de résolution de problèmes, non un commentaire de la géométrie grecque, et c'est précisément cette orientation vers la résolution de problèmes qui était nouvelle.
L'Arithmétique. Son traité sur le calcul avec les chiffres indiens ne survit que dans des versions latines (la tradition qui commence par Dixit Algorizmi, « Ainsi parla al-Khawarizmi »). Il enseignait la notation positionnelle, le zéro et les algorithmes de l'addition, de la soustraction, de la multiplication, de la division et de l'extraction des racines. La latinisation de son nom, Algorismi, devint le mot médiéval algorisme (calcul décimal) et finalement le mot moderne algorithme.
Il compila aussi les tables astronomiques du Zij al-Sindhind (le premier grand zij original de la tradition, mêlant méthodes indiennes, persanes et grecques) et un Livre de la configuration de la Terre qui corrigeait la géographie de Ptolémée.
Transmission. Robert de Chester (1145, Ségovie) et Gérard de Crémone (Tolède, fin du XIIe s.) traduisirent l'Algèbre en latin ; elle devint l'introduction de l'Europe à la discipline et était encore citée par les algébristes italiens au XVIe siècle. L'arithmétique, à travers la littérature de l'algorismus, enseigna à l'Europe le calcul décimal.
Sources : Rashed, The Development of Arabic Mathematics ; Berggren, Episodes, ch. 4 ; Katz ; DSB (G. Toomer, « al-Khwarizmi »). Traduction anglaise de l'Algèbre : F. Rosen (1831), dépassée par l'édition de Rashed (2009).
al-Jawhari¶
al-Abbas ibn Said al-Jawhari (fl. c. 830) · Bagdad · géométrie
Géomètre du cercle d'al-Ma'mun qui participa aux observations astronomiques du calife et écrivit un commentaire des Éléments d'Euclide, remarquable parce qu'il contient l'une des plus anciennes tentatives connues, dans le monde islamique, de démontrer le postulat des parallèles d'Euclide. La tentative échoue (comme toutes ces tentatives doivent échouer), mais elle ouvre un axe de recherche — la critique du postulat des parallèles — qui passe par Thabit ibn Qurra, Ibn al-Haytham, Omar Khayyam et Nasir al-Din al-Tusi, et qui alimenta, via l'impression à Rome en 1594 d'une recension attribuée à Tusi et sa discussion par John Wallis et Girolamo Saccheri, la préhistoire de la géométrie non euclidienne.
Sources : DSB ; Rosenfeld, A History of Non-Euclidean Geometry.
al-Kindi¶
Abu Yusuf Ya'qub ibn Ishaq al-Kindi (c. 801–873) · Bagdad · philosophie, mathématiques, optique, cryptanalyse
« Le philosophe des Arabes » écrivit dans un éventail considérable de domaines ; son importance mathématique est triple. Premièrement, ses ouvrages d'optique géométrique transmirent et corrigèrent la théorie euclidienne de la vision et influencèrent Ibn al-Haytham. Deuxièmement, son traité Sur le déchiffrement des messages cryptographiques contient la plus ancienne description connue de l'analyse des fréquences, la méthode statistique permettant de casser les chiffrements par substitution ; c'est le document fondateur de la cryptanalyse et un jalon précoce du raisonnement statistique, un point directement pertinent pour les programmes modernes de cybersécurité. Troisièmement, ses nombreux traités d'arithmétique contribuèrent à populariser les chiffres indiens auprès du public instruit.
Sources : Rashed (dir.), travaux sur l'optique d'al-Kindi ; Ibrahim Al-Kadi, « Origins of Cryptology: The Arab Contributions », Cryptologia 16 (1992) ; Simon Singh, The Code Book (vulgarisation).
Les Banu Musa¶
Muhammad, Ahmad et al-Hasan, les « fils de Musa » ibn Shakir (fl. c. 830–870, Muhammad m. 873) · Bagdad · géométrie, mécanique
Trois frères fortunés qui financèrent des traductions (ils employèrent Thabit ibn Qurra, leur plus grande découverte) et firent eux-mêmes de la géométrie de premier ordre. Leur Livre sur la mesure des figures planes et sphériques traitait les aires et les volumes à la manière d'Archimède, mais avec une nouveauté méthodologique : ils opéraient avec le nombre \(\pi\) comme une grandeur à part entière et présentaient les résultats archimédiens sous forme calculatoire. Le livre, traduit par Gérard de Crémone sous le titre Verba filiorum, fut une source de référence pour la géométrie archimédienne dans l'Europe latine et fut utilisé par Fibonacci, puis par les géomètres européens des XIIIe–XIVe siècles. Le Livre des procédés ingénieux d'Ahmad (automates, mécanismes autorégulés) appartient à la préhistoire de l'automatique.
Sources : Berggren, Episodes ; DSB ; Clagett, Archimedes in the Middle Ages, vol. 1.
Habash al-Hasib¶
Ahmad ibn Abdallah Habash al-Hasib al-Marwazi (« Habash le Calculateur », fl. c. 825–870) · Bagdad, Samarra · astronomie, trigonométrie
Astronome praticien du programme d'observation d'al-Ma'mun, dont les zij contribuèrent à acclimater les méthodes trigonométriques. On lui attribue un usage systématique précoce des fonctions d'ombre — les grandeurs que nous appelons aujourd'hui tangente et cotangente — sous forme de tables, ainsi que des tables auxiliaires qui simplifiaient les calculs d'astronomie sphérique. Les attributions de « premier usage » dans ce domaine sont contestées par les historiens (Abu al-Wafa et d'autres consolidèrent plus tard les six fonctions standard), mais les tables d'Habash marquent le moment où la trigonométrie du monde islamique commence à dépasser son héritage grec fondé sur la corde.
Sources : E. S. Kennedy, « A Survey of Islamic Astronomical Tables » ; DSB.
al-Mahani¶
Abu Abdallah Muhammad ibn Isa al-Mahani (fl. c. 860, m. c. 880) · Bagdad · géométrie, algèbre
Connu pour avoir tenté de résoudre le problème archimédien consistant à diviser une sphère par un plan en segments dont les volumes sont dans un rapport donné (tiré de De la sphère et du cylindre II.4). Al-Mahani le ramena à une équation cubique qu'il ne put résoudre ; le problème devint célèbre dans la tradition sous le nom d'« équation d'al-Mahani » et fut finalement traité par al-Khazin au moyen de sections coniques. Cet épisode lança le programme de recherche — les cubiques par intersection de coniques — qui culmine avec Omar Khayyam. Il écrivit aussi des commentaires du livre X d'Euclide (grandeurs irrationnelles), faisant progresser l'arithmétisation des irrationnels.
Sources : Berggren, Episodes ; DSB ; Rashed.
Thabit ibn Qurra¶
Abu al-Hasan Thabit ibn Qurra al-Harrani (836–901) · Harran, puis Bagdad · géométrie, théorie des nombres, astronomie, mécanique
Sabéen de Harran recruté par les Banu Musa, Thabit devint le meilleur géomètre du IXe siècle et l'un des grands mathématiciens de toute la tradition.
Théorie des nombres. Son théorème sur les nombres amiables donne une règle engendrant des paires amiables : si \(p = 3\cdot 2^{n-1} - 1\), \(q = 3\cdot 2^n - 1\) et \(r = 9\cdot 2^{2n-1} - 1\) sont tous premiers pour \(n > 1\), alors \(2^n pq\) et \(2^n r\) sont amiables. C'est le premier théorème général connu produisant des paires amiables ; Fermat et Descartes redécouvrirent des siècles plus tard des paires qui s'en déduisent, et Euler généralisa la règle.
Géométrie et proto-calcul intégral. Il calcula l'aire d'un segment de parabole et les volumes de paraboloïdes par des méthodes de sommation qui partagent les intervalles en parties inégales — un travail qui s'inscrit pleinement dans la lignée allant de la méthode d'exhaustion d'Archimède vers l'intégration. Il écrivit l'une des premières tentatives sérieuses sur le postulat des parallèles et une généralisation du théorème de Pythagore aux triangles quelconques.
Traduction et révision. Il révisa les traductions d'Euclide et de Ptolémée par Ishaq ibn Hunayn pour en faire les éditions de référence de la tradition, et traduisit ou révisa des œuvres d'Archimède et d'Apollonius, notamment les livres V–VII des Coniques, qui ne survivent qu'en arabe ; sans l'école de Thabit, un tiers des Coniques serait perdu.
Transmission. Son traité sur le qarastun (balance romaine) circula en latin sous le titre Liber karastonis ; ses ouvrages astronomiques et géométriques influencèrent la tradition islamique et, par la traduction, la tradition latine.
Sources : Berggren, Episodes, ch. 2–3 ; Rashed ; DSB (B. Rosenfeld et A. T. Grigorian, « Thabit ibn Qurra ») ; Roshdi Rashed (dir.), Thabit ibn Qurra: Science and Philosophy in Ninth-Century Baghdad (2009).
Qusta ibn Luqa¶
Qusta ibn Luqa al-Ba'labakki (c. 820 – c. 912) · Baalbek, Bagdad, Arménie · traduction, mathématiques, médecine
Chrétien grec de Baalbek, maîtrisant parfaitement le grec, il traduisit en arabe l'Arithmétique de Diophante (sous le titre « L'art de l'algèbre »), ainsi que des œuvres de Théodose, d'Autolycos et de Héron. Le Diophante arabe est doublement précieux pour l'histoire : il façonna l'algèbre à caractère arithmétique d'al-Karaji et d'al-Samawal, et quatre de ses livres ne survivent que dans la version arabe de Qusta, découverte dans un manuscrit à Mashhad et publiée dans les années 1970–80, doublant ainsi le Diophante conservé.
Sources : J. Sesiano, Books IV to VII of Diophantus' Arithmetica in the Arabic Translation (1982) ; l'édition de Rashed ; DSB.
al-Battani¶
Abu Abdallah Muhammad ibn Jabir al-Battani (c. 858–929) · Raqqa · astronomie, trigonométrie
Latinisé en Albategnius. Bien que sa carrière se prolonge au-delà de 900, il appartient à la génération fondatrice. Son Kitab al-Zij (les Tables sabéennes) repose sur une quarantaine d'années de ses propres observations à Raqqa et est le zij de la tradition qui eut, à lui seul, le plus d'influence en Europe. Sur le plan mathématique, al-Battani utilisa systématiquement le sinus là où Ptolémée utilisait les cordes, employa la relation équivalente à \(\tan\theta\) au moyen des longueurs d'ombre, et énonça la formule équivalente à la loi des cosinus sphérique pour ses problèmes de type qibla. Il détermina l'excentricité solaire et l'obliquité de l'écliptique avec une précision qui fit autorité pendant des siècles et découvrit le mouvement de l'apogée solaire.
Transmission. Traduit par Robert de Chester et, de manière définitive, par Platon de Tivoli sous le titre De motu stellarum ; imprimé en 1537. Copernic cite al-Battani à de nombreuses reprises dans le De revolutionibus, et ses données furent encore utilisées par Kepler et, pour les études sur l'accélération lunaire, par Dunthorne au XVIIIe siècle.
Sources : DSB (W. Hartner, « al-Battani ») ; Kennedy, Survey ; l'édition de référence est celle de C. A. Nallino, Al-Battani sive Albatenii Opus Astronomicum (1899–1907).