Géométrie¶
Des Gardiens qui Rénovèrent la Maison¶
La tradition islamique hérita de la géométrie grecque dans sa totalité — Euclide, Archimède, Apollonius — et en fit trois choses : elle la préserva (certaines parties ne survivent qu'en arabe, notamment les livres V–VII des Coniques d'Apollonius et des livres de Diophante), l'enseigna (Euclide constituait le programme universel) et la prolongea selon plusieurs axes de recherche.
Axe de Recherche 1 : Mesure et Proto-Calcul Intégral¶
Le programme archimédien des aires et des volumes par exhaustion se poursuivit avec une réelle nouveauté :
- Les Banu Musa reformulèrent Archimède de manière calculatoire, traitant \(\pi\) comme une grandeur.
- Thabit ibn Qurra calcula l'aire du segment parabolique en sommant sur des subdivisions inégales, ainsi que les volumes de paraboloïdes.
- Ibrahim ibn Sinan donna la quadrature de la parabole la plus élégante de l'ère prémoderne, par invariance affine.
- Ibn al-Haytham somma des puissances quatrièmes pour trouver le volume d'un paraboloïde tournant autour de sa base, en utilisant exactement la machinerie \(\sum_{k=1}^{n} k^4\) dont l'Europe du XVIIe siècle (Cavalieri, Fermat, Pascal, Wallis) aurait besoin pour \(\int_0^a x^n dx\) — la bretelle d'accès arithmétique au calcul intégral.
Que les intégrateurs européens aient connu les précédents arabes n'est, pour l'essentiel, pas documenté ; le fait est que les mathématiques du « découper, sommer, affiner » furent poussées plus loin entre 850 et 1050 que partout ailleurs avant les années 1600.
Axe de Recherche 2 : Le Postulat des Parallèles¶
Une chaîne ininterrompue de géomètres islamiques s'attaqua au cinquième postulat d'Euclide : al-Jawhari, Thabit, Ibn al-Haytham (le quadrilatère trirectangle qui portera plus tard le nom de Lambert), Khayyam (le quadrilatère à côtés égaux qui portera plus tard le nom de Saccheri, avec la trichotomie explicite des angles au sommet aigus/droits/obtus), et Nasir al-Din al-Tusi et son école. Toutes les « démonstrations » échouent, nécessairement, en introduisant subrepticement une hypothèse équivalente ; mais l'analyse accumulée de ce à quoi le postulat est équivalent, ainsi que les configurations de quadrilatères elles-mêmes, passèrent en Europe lorsqu'une recension du pseudo-Tusi fut imprimée à Rome en 1594, fut discutée par John Wallis (conférence de 1663) et fut citée dès les premières pages de l'Euclides Vindicatus de Saccheri (1733), le livre d'où part la route qui, par Lambert et Legendre, mène à Gauss, Bolyai et Lobatchevski. La géométrie non euclidienne compte un chapitre islamique documenté dans sa préhistoire.
Axe de Recherche 3 : Les Constructions au-delà de la Règle¶
La tradition traita les problèmes classiques (trisection, heptagone, problèmes de type duplication du cube) non comme des tabous mais comme une hiérarchie d'outils : ce qui requiert les coniques, ce qui requiert la neusis, ce qui peut être approché. L'heptagone par les coniques d'al-Sijzi, le compas parfait d'al-Quhi pour tracer les coniques d'un seul mouvement, les trisections d'al-Saghani et les constructions d'Abu al-Wafa au compas rouillé (à ouverture fixe) relèvent de cet axe ; ces dernières anticipent les résultats du XXe siècle, voisins de Mohr–Mascheroni, sur les outils de construction restreints, et se rattachent directement à la pratique artisanale — les entrelacs girih et les voûtes à muqarnas de l'architecture islamique, dont les motifs quasi périodiques en tuiles girih (Lu & Steinhardt, Science, 2007) ont été comparés aux pavages de Penrose.
Axe de Recherche 4 : Fondements du Rapport et de la Grandeur¶
Les commentaires du livre V d'Euclide (proportions) et du livre X (irrationnels), par al-Mahani, Khayyam et d'autres, tendirent à traiter les rapports comme des nombres, c'est-à-dire à s'orienter vers le continu des nombres réels. La discussion de Khayyam sur la composition des rapports et sa critique selon laquelle la définition d'Euclide dissimule la nature quantitative du rapport sont des étapes sur la route qui aboutit à la construction des réels par Dedekind (1872), et les historiens ont relevé un raisonnement de type « coupure » à la Dedekind aussi bien chez Eudoxe que chez les commentateurs arabes.
Axe de Recherche 5 : Géométrie de la Sphère¶
La géométrie sphérique, stimulée par l'astronomie et la qibla, passa de la gymnastique du théorème de Ménélaüs à la résolution trigonométrique systématique des triangles sphériques : voir le chapitre Trigonométrie.
Sources : Berggren, Episodes, ch. 3 ; Rashed, Les mathématiques infinitésimales ; Rosenfeld, A History of Non-Euclidean Geometry ; Katz ; Lu & Steinhardt, « Decagonal and Quasi-crystalline Tilings in Medieval Islamic Architecture », Science 315 (2007).