Ère II — Le Xe Siècle (900–1000)¶
Le siècle de la consolidation et de la spécialisation. Les fractions décimales apparaissent, les six fonctions trigonométriques sont complétées, la construction géométrique devient un art raffiné, et la tradition se répand vers l'ouest jusqu'à Cordoue.
Abu Kamil¶
Abu Kamil Shuja ibn Aslam (c. 850 – c. 930) · Égypte · algèbre
« Le calculateur d'Égypte », le pont essentiel entre al-Khawarizmi et tout ce qui suivit. Son Livre d'algèbre (Kitab fi al-jabr wa-l-muqabala) prolonge al-Khawarizmi de manière décisive : il travaille avec aisance sur des coefficients irrationnels et des solutions irrationnelles, manipule les radicaux avec des règles équivalentes à \(\sqrt{a}\pm\sqrt{b} = \sqrt{a + b \pm 2\sqrt{ab}}\), traite des puissances de l'inconnue jusqu'à \(x^8\), et résout systèmes et problèmes indéterminés avec une réelle puissance technique. Son traité sur le pentagone et le décagone applique l'algèbre à des problèmes de construction géométrique, et son livre sur les problèmes indéterminés recoupe la tradition diophantienne.
Transmission. Abu Kamil est une source principale et documentée du Liber Abaci de Fibonacci (1202) ; beaucoup des problèmes de Fibonacci sont ceux d'Abu Kamil, parfois avec les mêmes nombres. Une traduction latine et une traduction hébraïque (par Mordecai Finzi, XVe s.) le firent entrer en Europe par des voies indépendantes.
Sources : l'édition d'Abu Kamil par Rashed (2012) ; Berggren, Episodes ; Katz ; DSB.
al-Nayrizi¶
Abu al-Abbas al-Fadl ibn Hatim al-Nayrizi (c. 865 – c. 922) · Bagdad · géométrie, astronomie
Latinisé en Anaritius. Auteur du plus important des premiers commentaires arabes des Éléments d'Euclide, qui conserve des matériaux grecs perdus (notamment des parties des commentaires de Héron et de Simplicius) et contient sa propre tentative de démonstration du postulat des parallèles. Gérard de Crémone traduisit le commentaire en latin, par quoi il influença l'enseignement médiéval européen de la géométrie, y compris Albert le Grand. Il écrivit aussi sur les mathématiques de l'astrolabe sphérique et sur la détermination de la qibla.
Sources : DSB ; les éditions anglaises d'Anaritius par Lo Bello ; Rosenfeld.
Sinan ibn Thabit et Ibrahim ibn Sinan¶
Sinan ibn Thabit (c. 880–943) et son fils Ibrahim ibn Sinan (908–946) · Bagdad · géométrie, astronomie
Sinan, fils de Thabit ibn Qurra, fut surtout médecin et administrateur des hôpitaux de Bagdad, mais son fils Ibrahim, mort à 38 ans, fut un géomètre de premier ordre. La quadrature de la parabole d'Ibrahim est plus simple que celle d'Archimède lui-même (fait qu'il mit en avant, l'honneur familial étant en jeu, car des critiques disaient que la démonstration de son grand-père était trop longue) et elle est sans doute la plus élégante quadrature de la parabole jamais donnée avant le calcul infinitésimal, fondée sur un argument d'invariance affine d'une modernité frappante. Son traité Sur l'analyse et la synthèse est l'un des ouvrages méthodologiques les plus sophistiqués de la tradition, une étude de la découverte mathématique elle-même, et son travail sur le tracé des sections coniques donne des constructions pratiques point par point de l'ellipse, de la parabole et de l'hyperbole.
Sources : Berggren, Episodes ; Rashed & Bellosta, Ibrahim ibn Sinan : Logique et géométrie au Xe siècle (2000) ; DSB.
al-Uqlidisi¶
Abu al-Hasan Ahmad ibn Ibrahim al-Uqlidisi (fl. c. 952) · Damas · arithmétique
Son nom signifie « l'Euclidien », probablement parce qu'il gagnait sa vie en copiant des manuscrits d'Euclide. Son Kitab al-Fusul fi al-Hisab al-Hindi (« Chapitres sur le calcul indien », écrit en 952/953 à Damas) est la plus ancienne arithmétique arabe conservée sur les chiffres indiens, et il contient la plus ancienne apparition connue des fractions décimales, avec une marque notationnelle (un trait au-dessus du chiffre des unités) indiquant la place décimale : il divise 19 par deux cinq fois pour obtenir 0,59375, écrit sous forme décimale pure. Il adapta aussi délibérément les algorithmes de la table à poussière indienne au papier et à la plume, une étape sous-estimée vers les mathématiques comme discipline écrite et vérifiable.
Les historiens attribuèrent longtemps les fractions décimales à al-Kashi (XVe s.) ; l'étude d'A. S. Saidan de 1966 et sa traduction d'al-Uqlidisi de 1978 reculèrent la date de près de cinq siècles. Al-Kashi reste celui qui fit des fractions décimales un instrument de calcul systématique.
Sources : A. S. Saidan, The Arithmetic of al-Uqlidisi (1978) ; Berggren, Episodes, ch. 2 ; Katz.
al-Khazin¶
Abu Ja'far al-Khazin (m. c. 971) · Khorassan · algèbre, géométrie, astronomie
Il résolut l'« équation d'al-Mahani », la cubique issue du problème archimédien de la division de la sphère, au moyen de l'intersection de sections coniques — le premier succès connu de la méthode qu'Omar Khayyam systématiserait plus tard pour toutes les cubiques. Il travailla aussi en théorie des nombres, notamment sur le versant « impossibilité » de ce que nous appellerions des problèmes de type Fermat dans certains cas (ses démonstrations étaient incomplètes), ainsi que sur le problème isopérimétrique.
Sources : Rashed ; DSB ; Berggren.
Abu al-Wafa al-Buzjani¶
Abu al-Wafa Muhammad ibn Muhammad al-Buzjani (940–998) · Bagdad · trigonométrie, géométrie, arithmétique
L'un des plus grands mathématiciens de toute la tradition, et la figure centrale de l'achèvement de la trigonométrie.
Trigonométrie. Abu al-Wafa travailla avec les six fonctions trigonométriques (sinus, cosinus, tangente, cotangente, sécante, cosécante), établit les identités qui les relient, démontra les théorèmes d'addition et de l'angle double sous une forme claire de style moderne (équivalente à \(\sin(a \pm b) = \sin a\cos b \pm \cos a\sin b\)), calcula des tables de sinus d'une précision sans précédent grâce à une interpolation affinée, et énonça la loi des sinus sphérique (priorité disputée avec ses contemporains Abu Nasr Mansur et al-Khujandi ; les trois travaillaient dans des cercles qui se recoupaient et les sources ne permettent pas de trancher).
Géométrie pratique. Son Livre de ce qui est nécessaire à l'artisan en matière de constructions géométriques traite des constructions à la règle et au compas rouillé (ouverture fixe), des constructions exactes et approchées des polygones réguliers, et des problèmes de découpage qui sous-tendent les motifs en tuiles girih de l'ornementation islamique. Cet ouvrage relie la haute géométrie à la pratique artisanale.
Arithmétique. Son arithmétique pratique à l'usage des scribes et des marchands comprend le premier traitement systématique attesté en arabe des quantités négatives, en tant que dettes, dans une règle de calcul.
Transmission. Sa consolidation trigonométrique irrigua tous les zij ultérieurs et, par la transmission latine et byzantine de l'astronomie islamique, la trigonométrie européenne, où le De triangulis de Regiomontanus (1464, imprimé en 1533) organise pour l'essentiel le même matériau.
Sources : Berggren, Episodes, ch. 5 ; Katz ; DSB (A. P. Youschkevitch, « Abu'l-Wafa ») ; Kennedy, Survey.
al-Quhi¶
Abu Sahl Wayjan ibn Rustam al-Quhi (fl. c. 970–1000) · Tabaristan, Bagdad · géométrie, astronomie
Considéré par ses contemporains comme le premier géomètre de son temps et directeur de l'observatoire bouyide de Bagdad (988). Virtuose des méthodes d'Archimède et d'Apollonius : il résolut des problèmes de division de la sphère et des problèmes apparentés au moyen de coniques, étudia le compas parfait (instrument traçant n'importe quelle conique d'un seul geste), s'intéressa aux centres de gravité, et alla au-delà d'Archimède dans les problèmes d'inscription de solides. Sa correspondance avec Abu Ishaq al-Sabi est un rare témoignage conservé d'une discussion mathématique de travail à cette époque.
Sources : les études et éditions d'al-Quhi par Berggren ; Rashed, Geometry and Dioptrics ; DSB.
al-Sijzi¶
Abu Said Ahmad ibn Muhammad al-Sijzi (c. 945 – c. 1020) · Sijistan, Chiraz · géométrie
Spécialiste de la géométrie des sections coniques et de la résolution de problèmes géométriques ; son traité sur la construction de l'heptagone régulier au moyen de coniques compte parmi les classiques du genre (l'heptagone, impossible à la règle et au compas, était un banc d'essai pour les méthodes par coniques de la tradition). Son essai méthodologique sur la manière de rendre les problèmes géométriques abordables est un texte précoce du type « comment penser les problèmes difficiles ». On rapporte aussi qu'il construisit un astrolabe fondé sur l'hypothèse d'une Terre en rotation, preuve que de telles hypothèses pouvaient être discutées.
Sources : les études d'al-Sijzi par Hogendijk ; Berggren ; DSB.
al-Khujandi¶
Abu Mahmud Hamid ibn al-Khidr al-Khujandi (c. 940–1000) · Rayy · astronomie, trigonométrie
Constructeur d'un sextant géant à Rayy (le plus grand instrument d'observation de son temps) destiné à mesurer l'obliquité de l'écliptique — une illustration de l'intuition de la tradition selon laquelle la taille de l'instrument achète la précision, poussée plus loin encore à Maragha et à Samarcande. Il est l'un des prétendants (avec Abu al-Wafa et Abu Nasr Mansur) à la loi des sinus sphérique, et il affirma (sans démonstration complète) l'impossibilité de solutions entières pour \(x^3 + y^3 = z^3\), une apparition précoce dans la littérature d'un cas du dernier théorème de Fermat.
Sources : DSB ; Kennedy ; Rashed.
Ibn Sahl¶
Abu Sa'd al-Ala' ibn Sahl (fl. c. 984) · Bagdad · optique, géométrie
Tiré de l'oubli par la reconstitution qu'a faite Roshdi Rashed en 1990 de son traité Sur les instruments ardents : Ibn Sahl y analyse la réfraction dans les lentilles et énonce, géométriquement, la relation à rapport constant aujourd'hui appelée loi de Snell, quelque six siècles avant Snellius et Descartes. Il l'utilisa pour concevoir des lentilles ardentes plan-convexes et biconvexes par le biais du problème anaclastique. Ses travaux alimentèrent directement l'Optique d'Ibn al-Haytham. Cette découverte a réécrit l'histoire de l'optique géométrique.
Sources : R. Rashed, « A Pioneer in Anaclastics: Ibn Sahl on Burning Mirrors and Lenses », Isis 81 (1990) ; Rashed, Geometry and Dioptrics in Classical Islam.
al-Saghani¶
Abu Hamid al-Saghani (m. 990) · Bagdad · astronomie, géométrie
Astronome à l'observatoire bouyide et fabricant d'instruments (son nom est associé à de beaux astrolabes). Sur le plan mathématique, on se souvient de lui pour ses travaux sur la trisection de l'angle, l'un des trois problèmes classiques grecs, par des méthodes de type neusis et par les coniques — une partie du traitement systématique, par la tradition, des problèmes dépassant la règle et le compas.
Sources : DSB ; Berggren.
Maslama al-Majriti¶
Maslama ibn Ahmad al-Majriti (c. 950–1007) · Cordoue · astronomie, mathématiques
Le savant qui acclimata l'astronomie mathématique orientale en al-Andalus. Il adapta le zij d'al-Khawarizmi au méridien de Cordoue et au calendrier de l'Hégire (cette adaptation, dans la traduction latine d'Adélard de Bath, est la version qui a survécu, l'original étant perdu), édita le Planisphère de Ptolémée (qui survit, là encore, par la lignée arabo-latine), et fonda l'école dont descendent les mathématiques et l'astronomie andalouses : les élèves de ses élèves comptent parmi les auteurs des Tables de Tolède. Par Cordoue, les mathématiques de Bagdad entamèrent leur voyage vers l'ouest, en direction de l'Europe latine.
Sources : DSB ; Samsó, Las ciencias de los antiguos en al-Andalus ; Kennedy, Survey.
Ibn Yunus¶
Abu al-Hasan Ali ibn Abd al-Rahman ibn Yunus (c. 950–1009) · Le Caire · astronomie, trigonométrie
Astronome de cour des califes fatimides ; son immense Zij hakimite repose sur des décennies d'observations faites au Caire, dont beaucoup sont encore utilisables par les astronomes modernes qui étudient l'accélération séculaire de la Lune (Simon Newcomb utilisa ses relevés d'éclipses au XIXe siècle). Sur le plan mathématique, ses tables témoignent d'une technique de calcul extraordinaire, et on lui associe une identité de type prosthaphérèse, équivalente à \(\cos a\cos b = \frac{1}{2}[\cos(a-b)+\cos(a+b)]\), du genre de celles que les astronomes européens du XVIe siècle utilisèrent plus tard pour convertir la multiplication en addition — l'idée précurseur immédiate des logarithmes. (Une influence directe d'Ibn Yunus sur l'école européenne de la prosthaphérèse n'est pas documentée ; le parallèle est conceptuel.)
Sources : DSB (D. King, « Ibn Yunus ») ; King, « Islamic Astronomy », dans Walker (dir.), Astronomy before the Telescope ; Kennedy, Survey.
al-Karaji¶
Abu Bakr Muhammad ibn al-Hasan al-Karaji (c. 953 – c. 1029) · Bagdad · algèbre, arithmétique, ingénierie
(Parfois écrit al-Karkhi dans la littérature ancienne.) La figure charnière de l'arithmétisation de l'algèbre : là où al-Khawarizmi justifiait l'algèbre géométriquement, al-Karaji l'en affranchit. Dans al-Fakhri, al-Badi et al-Kafi fi al-hisab, il traite systématiquement l'arithmétique des expressions polynomiales — les puissances \(x, x^2, x^3, \dots\) et leurs inverses comme une suite indexée, avec des règles pour opérer sur les polynômes en tant que tels —, fondant de fait l'algèbre des polynômes. Il donna la table des coefficients binomiaux avec sa règle de génération additive (la relation de récurrence du « triangle de Pascal » \(\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}\)), connue par le compte rendu qu'al-Samawal fit de son ouvrage perdu, et utilisa une forme précoce de raisonnement par récurrence pour démontrer des résultats comme la formule de la somme des cubes \(\left(\sum k\right)^2 = \sum k^3\).
Son versant pratique : L'extraction des eaux cachées, un sérieux traité d'ingénierie sur les eaux souterraines et la construction des qanats, contenant de la géométrie appliquée et de l'arpentage.
Transmission. L'école d'al-Karaji (par l'intermédiaire d'al-Samawal) est parallèle aux techniques algébriques de la Renaissance européenne et les anticipe ; la transmission textuelle directe vers l'Europe est limitée, ce qui en fait un cas d'école de redéveloppement indépendant le long d'un chemin que la tradition islamique avait déjà parcouru.
Sources : Rashed, The Development of Arabic Mathematics: Between Arithmetic and Algebra ; Katz ; DSB ; l'étude d'al-Fakhri par Woepcke en 1853 (première mention historique en Occident).
Kushyar ibn Labban¶
Kushyar ibn Labban al-Jili (c. 971–1029) · Gilan, région de Bagdad · arithmétique, astronomie
Auteur des Principes du calcul indien (Usul Hisab al-Hind), l'un des manuels d'arithmétique décimale les plus clairs qui nous soient parvenus, traduit en anglais par Levey et Petruck (1965). Il enseigne l'ensemble complet des algorithmes, y compris l'extraction des racines carrées et cubiques, et présente le calcul sexagésimal (base 60) utilisé par les astronomes aux côtés du décimal — exactement l'aisance dans les deux bases qu'exigeait la profession. Ses zij furent largement utilisés, et son élève al-Nasawi poursuivit la tradition des manuels d'arithmétique.
Sources : Levey & Petruck, Kushyar ibn Labban: Principles of Hindu Reckoning (1965) ; DSB ; Kennedy.