الحقبة الثانية — القرن العاشر (900–1000)¶
قرن الترسيخ والتخصص. تظهر الكسور العشرية، وتكتمل الدوال المثلثية الست، ويصبح الإنشاء الهندسي فناً رفيعاً، ويمتد التقليد غرباً حتى قرطبة.
أبو كامل¶
أبو كامل شجاع بن أسلم (ح. 850 – ح. 930) · مصر · الجبر
"الحاسب المصري"، الجسر الأساسي بين الخوارزمي وكل ما جاء بعده. يوسّع كتابه في الجبر والمقابلة عملَ الخوارزمي توسيعاً حاسماً: فهو يتعامل بارتياح مع المعاملات الصمّاء والحلول الصمّاء، ويعالج الجذور بقواعد تكافئ \(\sqrt{a}\pm\sqrt{b} = \sqrt{a + b \pm 2\sqrt{ab}}\)، ويتناول قوى المجهول حتى \(x^8\)، ويحل الأنظمة والمسائل السيّالة (غير المحددة) بقدرة تقنية حقيقية. وتطبّق رسالته في المخمّس والمعشّر الجبرَ على مسائل الإنشاء الهندسي، ويتقاطع كتابه في المسائل غير المحددة مع التقليد الديوفانطي.
الانتقال. أبو كامل مصدر رئيسي موثَّق لـكتاب الأبيسي لفيبوناتشي (1202)؛ فكثير من مسائل فيبوناتشي هي مسائل أبي كامل، وأحياناً بالأعداد نفسها. وقد حملته ترجمة لاتينية وترجمة عبرية (لموردخاي فينزي، القرن الخامس عشر) إلى أوروبا عبر طريقين مستقلين.
المصادر: طبعة راشد لأبي كامل (2012)؛ بيرغرن، Episodes؛ كاتز؛ DSB.
النيريزي¶
أبو العباس الفضل بن حاتم النيريزي (ح. 865 – ح. 922) · بغداد · الهندسة، الفلك
عُرف باللاتينية باسم Anaritius. صاحب أهم الشروح العربية المبكرة على أصول إقليدس، وهو شرح يحفظ مادة يونانية مفقودة (منها أجزاء من شرحَي هيرون وسمبليقيوس)، ويتضمن محاولته الخاصة لبرهنة مصادرة التوازي. وقد ترجم جيرار الكريموني الشرحَ إلى اللاتينية، فأثّر عبرها في تعليم الهندسة في أوروبا الوسيطة، ومن ذلك تأثيره في ألبرتوس ماغنوس. وكتب أيضاً في رياضيات الإسطرلاب الكروي وفي تحديد القبلة.
المصادر: DSB؛ طبعات Lo Bello الإنجليزية لـAnaritius؛ روزنفلد.
سنان بن ثابت وإبراهيم بن سنان¶
سنان بن ثابت (ح. 880–943) وابنه إبراهيم بن سنان (908–946) · بغداد · الهندسة، الفلك
كان سنان، ابن ثابت بن قرة، طبيباً ومديراً لبيمارستانات بغداد في المقام الأول، لكن ابنه إبراهيم، الذي توفي في الثامنة والثلاثين، كان عالم هندسة من الطراز الأول. وتربيع إبراهيم للقطع المكافئ أبسط من تربيع أرخميدس نفسه (وهي حقيقة نوّه بها، إذ كان شرف الأسرة على المحك، لأن بعض النقاد قالوا إن برهان جدّه طويل أكثر مما ينبغي)، وهو على الأرجح أرشق تربيع للقطع المكافئ قُدّم قبل حساب التفاضل والتكامل، باستعمال حجة قائمة على اللاتغيّر التآلفي ذات حداثة لافتة. ورسالته في طريق التحليل والتركيب من أرقى المؤلفات المنهجية في هذا التقليد، وهي دراسة للاكتشاف الرياضي نفسه، وعمله في رسم القطوع المخروطية يقدم إنشاءات عملية نقطةً نقطةً للقطع الناقص والقطع المكافئ والقطع الزائد.
المصادر: بيرغرن، Episodes؛ Rashed وBellosta، Ibrahim ibn Sinan: Logique et géométrie au Xe siècle (2000)؛ DSB.
الإقليدسي¶
أبو الحسن أحمد بن إبراهيم الإقليدسي (ازدهر ح. 952) · دمشق · الحساب
يعني اسمه "المنسوب إلى إقليدس"، على الأرجح لأنه كان يكسب رزقه بنسخ مخطوطات إقليدس. وكتابه الفصول في الحساب الهندي (كُتب عام 952/953 في دمشق) هو أقدم كتاب عربي في الحساب بالأرقام الهندية وصل إلينا، ويتضمن أقدم ظهور معروف لـالكسور العشرية، مع علامة ترميزية (شَرطة فوق رقم الآحاد) تحدد موضع المنزلة العشرية: فهو يقسم 19 على اثنين خمس مرات فيحصل على 0.59375، مكتوباً في صورة عشرية خالصة. وقد كيّف أيضاً عن قصدٍ الخوارزمياتِ من لوح الغبار الهندي إلى الورق والقلم، وهي خطوة لم تنل حقها من التقدير نحو الرياضيات بوصفها علماً مكتوباً قابلاً للتحقق.
ظل المؤرخون طويلاً ينسبون الكسور العشرية إلى الكاشي (القرن الخامس عشر)؛ ثم أرجعت دراسة أحمد سليم سعيدان عام 1966 وترجمته للإقليدسي عام 1978 التاريخَ نحو خمسة قرون إلى الوراء. ويبقى الكاشي هو من جعل الكسور العشرية أداة حسابية منهجية.
المصادر: A. S. Saidan، The Arithmetic of al-Uqlidisi (1978)؛ بيرغرن، Episodes، الفصل 2؛ كاتز.
الخازن¶
أبو جعفر الخازن (ت. ح. 971) · خراسان · الجبر، الهندسة، الفلك
حلّ "معادلة الماهاني"، المعادلة التكعيبية الناشئة عن مسألة أرخميدس في تقسيم الكرة، بواسطة تقاطع القطوع المخروطية، وهو أول نجاح معروف للطريقة التي سينظّمها عمر الخيام لاحقاً لجميع المعادلات التكعيبية. وعمل أيضاً في نظرية الأعداد، ومن ذلك معالجة جانب الاستحالة في ما نسميه مسائل من نمط فيرما في حالات معينة (وكانت براهينه ناقصة)، وفي مسألة تساوي المحيطات.
المصادر: راشد؛ DSB؛ بيرغرن.
أبو الوفاء البوزجاني¶
أبو الوفاء محمد بن محمد البوزجاني (940–998) · بغداد · علم المثلثات، الهندسة، الحساب
من أعظم رياضيي هذا التقليد كله، والشخصية المحورية في اكتمال علم المثلثات.
علم المثلثات. عمل أبو الوفاء بالدوال المثلثية الست جميعها (الجيب، وجيب التمام، والظل، وظل التمام، والقاطع، وقاطع التمام)، وأثبت المتطابقات التي تربط بينها، وبرهن مبرهنات الجمع وضعف الزاوية في صورة واضحة ذات طابع حديث (تكافئ \(\sin(a \pm b) = \sin a\cos b \pm \cos a\sin b\))، وحسب جداول جيوب بدقة غير مسبوقة باستعمال استيفاء محسَّن، وصاغ قانون الجيوب الكروي (والأسبقية فيه موضع نزاع مع معاصرَيه أبي نصر منصور والخجندي؛ فقد عمل الثلاثة في حلقات متداخلة، ولا تحسم المصادر الأمر).
الهندسة العملية. يتناول كتابه فيما يحتاج إليه الصانع من أعمال الهندسة الإنشاءاتِ بالمسطرة والبركار الصدئ (ذي الفتحة الثابتة)، والإنشاءات الدقيقة والتقريبية للمضلعات المنتظمة، ومسائل التقسيم التي تقوم عليها أنماط بلاطات الگره في الزخرفة الإسلامية. وهذا العمل يربط الهندسة الرفيعة بالممارسة الحِرفية.
الحساب. يتضمن حسابه العملي للكتّاب والتجار أول معالجة منهجية مسجَّلة بالعربية لـالمقادير السالبة بوصفها ديوناً ضمن قاعدة حسابية.
الانتقال. انساب ترسيخه لعلم المثلثات إلى كل الأزياج اللاحقة، ومن خلال الانتقال اللاتيني والبيزنطي للفلك الإسلامي إلى علم المثلثات الأوروبي، حيث ينظّم كتاب ريجيومونتانوس De triangulis (1464، وطُبع عام 1533) المادةَ نفسها في جوهرها.
المصادر: بيرغرن، Episodes، الفصل 5؛ كاتز؛ DSB (A. P. Youschkevitch، "Abu'l-Wafa")؛ كينيدي، Survey.
القوهي¶
أبو سهل ويجن بن رستم القوهي (ازدهر ح. 970–1000) · طبرستان، بغداد · الهندسة، الفلك
عدّه معاصروه أبرز علماء الهندسة في زمانه، وكان مديراً للمرصد البويهي في بغداد (988). وكان بارعاً في طرائق أرخميدس وأبولونيوس: حلّ مسائل تقسيم الكرة وما يتصل بها بواسطة القطوع المخروطية، ودرس "البركار التام" (آلة ترسم أي قطع مخروطي بحركة واحدة)، وبحث في مراكز الثقل، وتجاوز أرخميدس في مسائل إدخال المجسمات في غيرها. ومراسلاته مع أبي إسحاق الصابي سجلٌّ نادر باقٍ لنقاش رياضي عملي في تلك الحقبة.
المصادر: دراسات بيرغرن وتحقيقاته للقوهي؛ راشد، Geometry and Dioptrics؛ DSB.
السجزي¶
أبو سعيد أحمد بن محمد السجزي (ح. 945 – ح. 1020) · سجستان، شيراز · الهندسة
متخصص في هندسة القطوع المخروطية وحل المسائل الهندسية؛ ورسالته في إنشاء المسبّع المنتظم بالقطوع المخروطية من كلاسيكيات هذا الجنس (فالمسبّع، الذي يستحيل إنشاؤه بالمسطرة والبركار، كان ميدان اختبار لطرائق القطوع المخروطية في هذا التقليد). ومقالته المنهجية في تيسير المسائل الهندسية نصٌّ مبكر من نوع "كيف تفكر في المسائل الصعبة". ويُروى أيضاً أنه صنع إسطرلاباً قائماً على افتراض دوران الأرض، وهو دليل على أن مثل هذه الفرضيات كانت قابلة للنقاش.
المصادر: دراسات هوجنديك عن السجزي؛ بيرغرن؛ DSB.
الخجندي¶
أبو محمود حامد بن الخضر الخجندي (ح. 940–1000) · الريّ · الفلك، علم المثلثات
صانع السدس العملاق في الريّ (أكبر آلة رصد في زمانه) لقياس ميل فلك البروج، وهو مثال على إدراك هذا التقليد أن حجم الآلة يشتري الدقة، وهو ما دُفع أبعد لاحقاً في مراغة وسمرقند. وهو أحد المدّعين (مع أبي الوفاء وأبي نصر منصور) لقانون الجيوب الكروي، وقد أكّد (دون برهان كامل) استحالة وجود حلول صحيحة للمعادلة \(x^3 + y^3 = z^3\)، وهو ظهور مبكر في الأدبيات لحالة من مبرهنة فيرما الأخيرة.
المصادر: DSB؛ كينيدي؛ راشد.
ابن سهل¶
أبو سعد العلاء بن سهل (ازدهر ح. 984) · بغداد · البصريات، الهندسة
انتُشل من طيّ النسيان بفضل إعادة رشدي راشد عام 1990 بناءَ رسالته في الحرّاقات: إذ يحلّل ابن سهل فيها الانكسار في العدسات، ويصوغ هندسياً علاقة النسبة الثابتة التي تُسمّى اليوم قانون سنل، قبل سنيليوس وديكارت بنحو ستة قرون. واستعملها لتصميم عدسات محرقة مستوية محدبة ومحدبة الوجهين عبر مسألة الانكسار الأمثل. وقد غذّى عمله كتاب المناظر لابن الهيثم مباشرة. وأعاد هذا الاكتشاف كتابة تاريخ البصريات الهندسية.
المصادر: R. Rashed، "A Pioneer in Anaclastics: Ibn Sahl on Burning Mirrors and Lenses"، Isis 81 (1990)؛ راشد، Geometry and Dioptrics in Classical Islam.
الصاغاني¶
أبو حامد الصاغاني (ت. 990) · بغداد · الفلك، الهندسة
فلكي في المرصد البويهي وصانع آلات (يرتبط اسمه بإسطرلابات رفيعة الصنعة). ويُذكر رياضياً بعمله في تثليث الزاوية، إحدى المسائل اليونانية الكلاسيكية الثلاث، بطرائق من نوع الميل (neusis) وبالقطوع المخروطية، في إطار المعالجة المنهجية التي خصّ بها هذا التقليدُ المسائلَ التي تتجاوز المسطرة والبركار.
المصادر: DSB؛ بيرغرن.
مسلمة المجريطي¶
مسلمة بن أحمد المجريطي (ح. 950–1007) · قرطبة · الفلك، الرياضيات
العالِم الذي وطّن الفلكَ الرياضي المشرقي في الأندلس. فقد كيّف زيجَ الخوارزمي لخط زوال قرطبة وللتقويم الهجري (وهذا التكييف، في ترجمة أديلارد الباثي اللاتينية، هو النسخة الباقية، إذ ضاع الأصل)، وحرّر كتاب تسطيح الكرة لبطليموس (الباقي هو أيضاً عبر الخط العربي-اللاتيني)، وأسّس المدرسة التي انحدرت منها الرياضيات والفلك الأندلسيان: فمن تلاميذ تلاميذه صانعو جداول طليطلة. وعبر قرطبة بدأت رياضيات بغداد رحلتها غرباً نحو أوروبا اللاتينية.
المصادر: DSB؛ Samsó، Las ciencias de los antiguos en al-Andalus؛ كينيدي، Survey.
ابن يونس¶
أبو الحسن علي بن عبد الرحمن بن يونس (ح. 950–1009) · القاهرة · الفلك، علم المثلثات
فلكي البلاط لدى الخلفاء الفاطميين؛ ويقوم الزيج الحاكمي الضخم على عقود من الأرصاد في القاهرة، ولا يزال كثير منها صالحاً للاستعمال لدى الفلكيين المحدثين الذين يدرسون التسارع القرني للقمر (استعمل سيمون نيوكومب سجلات الكسوف التي دوّنها في القرن التاسع عشر). ومن الناحية الرياضية، تُظهر جداوله براعة حسابية استثنائية، وتُنسب إليه متطابقة من نوع "الجمع والطرح" (prosthaphaeresis) تكافئ \(\cos a\cos b = \frac{1}{2}[\cos(a-b)+\cos(a+b)]\)، من النوع الذي استعمله فلكيو أوروبا في القرن السادس عشر لاحقاً لتحويل الضرب إلى جمع، وهي الفكرة السابقة مباشرة للّوغاريتمات. (ولا يوجد توثيق لتأثير مباشر لابن يونس في المدرسة الأوروبية لهذه الطريقة؛ فالتوازي مفاهيمي.)
المصادر: DSB (D. King، "Ibn Yunus")؛ King، "Islamic Astronomy"، في Walker (محرّر)، Astronomy before the Telescope؛ كينيدي، Survey.
الكرجي¶
أبو بكر محمد بن الحسن الكرجي (ح. 953 – ح. 1029) · بغداد · الجبر، الحساب، الهندسة التطبيقية
(يُكتب أحياناً "الكرخي" في الأدبيات القديمة.) الشخصية المحورية في تحسيب الجبر: فحيث سوّغ الخوارزمي الجبرَ هندسياً، حرّره الكرجي من ذلك. ففي الفخري والبديع والكافي في الحساب يعالج حسابَ العبارات الحدودية معالجة منهجية — القوى \(x, x^2, x^3, \dots\) ومقلوباتها بوصفها متتالية مفهرسة، مع قواعد للعمل على كثيرات الحدود بما هي كذلك — فأسّس فعلياً جبرَ كثيرات الحدود. وقدّم جدول المعاملات الحدانية مع قاعدة توليده الجمعية (علاقة التكرار في "مثلث باسكال" \(\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}\))، المعروف من رواية السموأل لعمله المفقود، واستعمل صورة مبكرة من الاستدلال بالتكرار/الاستقراء في برهنة نتائج مثل صيغة مجموع المكعبات \(\left(\sum k\right)^2 = \sum k^3\).
وجانبه العملي: إنباط المياه الخفية، وهو رسالة هندسية جادة في المياه الجوفية وإنشاء القنوات (القنوات الجوفية/الكاريز)، تتضمن هندسةً تطبيقية ومساحة.
الانتقال. توازي مدرسة الكرجي (عبر السموأل) التقنياتِ الجبرية لعصر النهضة الأوروبي وتستبقها؛ والانتقال النصي المباشر إلى أوروبا محدود، مما يجعل هذه الحالة دراسةً نموذجية لإعادة التطوير المستقلة على طريق سبق أن سلكه التقليد الإسلامي.
المصادر: راشد، The Development of Arabic Mathematics: Between Arithmetic and Algebra؛ كاتز؛ DSB؛ دراسة فوبكه للفخري عام 1853 (أول تعريف غربي تاريخي به).
كوشيار بن لبان¶
كوشيار بن لبان الجيلي (ح. 971–1029) · جيلان، منطقة بغداد · الحساب، الفلك
صاحب كتاب أصول حساب الهند، أحد أوضح الكتب التعليمية الباقية في الحساب العشري، وقد ترجمه إلى الإنجليزية ليفي وبتروك (1965). وهو يعلّم المجموعة الكاملة من الخوارزميات، بما فيها استخراج الجذور التربيعية والتكعيبية، ويعرض الحساب الستيني (الأساس 60) كما استعمله الفلكيون إلى جانب العشري، وهي بالضبط الطلاقة في الأساسين التي كانت المهنة تتطلبها. وقد استُعملت أزياجه على نطاق واسع، وواصل تلميذه النسوي تقليدَ الكتب التعليمية في الحساب.
المصادر: Levey وPetruck، Kushyar ibn Labban: Principles of Hindu Reckoning (1965)؛ DSB؛ كينيدي.