الحقبة الرابعة — القرن الثاني عشر (1100–1200)¶
القرن الذي بدأت فيه أوروبا ترجمة هذا التقليد إلى اللاتينية (انظر حركة الترجمة)، بينما مضى التقليد نفسه قُدُماً: حسابٌ لكثيرات الحدود ذو طابع رمزي، ومعالجة مذهلة شبه تحليلية للمعادلات التكعيبية، وازدهار الحساب المغاربي.
الخازني¶
عبد الرحمن الخازني (ازدهر ح. 1115–1130) · مرو · الميكانيكا، الفلك
عبدٌ سابق من أصل بيزنطي صار من كبار العلماء في البلاط السلجوقي بمرو. وكتابه ميزان الحكمة (1121/22) أشمل رسالة وسيطة في علم السكون وعلم توازن السوائل الرياضيَّين: نظرية مراكز الثقل (بناءً على القوهي وابن الهيثم)، والميزان الهيدروستاتيكي، وجداول الأوزان النوعية للمعادن والجواهر والسوائل مقيسةً بدقة لافتة. ويعالج الثقلَ بوصفه متجهاً نحو مركز الأرض ومتغيراً بالمسافة بمعنى نوعي — الميكانيكا علماً رياضياً — قبل أن يعيد ستيفن وغاليليو سلوك أجزاء من هذا الطريق بأربعة قرون. وخدم الزيج السنجري الذي وضعه الفلكَ العملي.
المصادر: DSB (R. E. Hall، "al-Khazini")؛ ترجمة إنجليزية جزئية لـN. Khanikoff (1859).
جابر بن أفلح¶
أبو محمد جابر بن أفلح (ازدهر ح. 1120–1150) · إشبيلية · الفلك، علم المثلثات
عُرف باللاتينية باسم Geber (وهو مصدر دائم للخلط بينه وبين الكيميائي جابر بن حيان). انتقد كتابه إصلاح المجسطي بطليموسَ — فأعاد مثلاً ترتيب الزهرة وعطارد فوق الشمس — و، على نحو مهم للرياضيات، افتُتح برسالة مستقلة في علم المثلثات الكروي منظمة حول قاعدة الجيوب وقاعدة المقادير الأربعة، مستغنية تماماً عن مبرهنة منلاوس. وقد ترجمه جيرار الكريموني إلى اللاتينية؛ وعبر هذه القناة وصل علم المثلثات عند جابر إلى ريجيومونتانوس، الذي يقتبس كتابه De triangulis omnibus نتائج من جابر (واتهم كاردانو لاحقاً ريجيومونتانوس صراحةً بعدم الاعتراف الكافي بذلك). ولا تزال "مبرهنة جابر" في علم المثلثات الكروي (\(\cos B = \cos b \sin A\) للمثلث الكروي القائم، في إحدى صيغها الشائعة) تحمل اسمه اللاتيني إلى اليوم.
المصادر: DSB (R. Lorch، "Jabir ibn Aflah")؛ دراسات Lorch عن الإصلاح؛ فان برومِّلن.
السموأل¶
السموأل بن يحيى المغربي (ح. 1130 – ح. 1180) · بغداد، فارس · الجبر، الحساب
وُلد لأسرة يهودية في بغداد (واعتنق الإسلام في كِبَره وكتب عن ذلك)، وكان نابغةً ألّف رائعته الباهر في الجبر في نحو التاسعة عشرة من عمره، مرسّخاً مدرسة الكرجي وموسّعاً لها.
حساب كثيرات الحدود. يعالج السموأل كثيرات الحدود بواسطة جداول معاملات مفهرسة بحسب القوة، بما فيها القوى السالبة، فيُجري الجمع والضرب، والأهم القسمة المطوّلة لكثيرات الحدود تماماً كما تُدرَّس اليوم، ويمدّ خوارج القسمة إلى نشورٍ تستمر بلا نهاية (كأن يقسم فيحصل على ما هو في الواقع متسلسلة قوى في \(1/x\))، مع تصريح بالقاعدة \(x^m \cdot x^n = x^{m+n}\) شاملةً الأسس السالبة: "التصرف في المجهولات بجميع الأدوات الحسابية التي يستعملها الحاسب في المعلومات". ويعدّ المؤرخون (راشد) هذا أوضح صياغة وسيطة لبرنامج تحسيب الجبر.
البرهان على نمط الاستقراء. تسير براهينه على علاقة التكرار في المعاملات الحدانية وعلى متطابقات مثل مجموع المربعات بالتراجع من \(n\) إلى \(n-1\) حتى حالة أساس، وهو الهيكل المعروف للاستقراء الرياضي قبل صياغته الرسمية (باسكال، 1654).
التقريب. يحسب في كتاب القوامي بالكسور العشرية، ويقرّب الجذور بطرائق تكافئ الاحتفاظ بعدد اعتباطي من المنازل العشرية، واعياً بالدقة المضبوطة.
المصادر: تحقيق راشد وأحمد للباهر (1972)؛ راشد، Development of Arabic Mathematics؛ كاتز؛ DSB.
شرف الدين الطوسي¶
شرف الدين المظفر بن محمد الطوسي (ح. 1135 – ح. 1213) · طوس، دمشق، حلب، الموصل · الجبر، الهندسة
(لا ينبغي الخلط بينه وبين نصير الدين الطوسي في القرن التالي.) تأخذ رسالته في المعادلات تصنيفَ الخيام للمعادلات التكعيبية وتطرح السؤال التالي: متى توجد الحلول، وكم عددها؟ فبالنسبة إلى أنواع المعادلات التكعيبية التي قد تخلو من حلول موجبة، يحدد الشرطَ بتعيين القيمة العظمى للعبارة التكعيبية: ففي \(x^3 + c = bx\) (بأسلوبه، منقولاً إلى الترميز الحديث)، يعيّن القيمة الحرجة \(x = \sqrt{b/3}\) التي تبلغ عندها العبارة \(bx - x^3\) أكبر قيمة لها، ويقارن \(c\) بتلك القيمة العظمى ليعدّ الجذور. والقيمة الحرجة هي بالضبط جذر ما نسميه المشتقة، وقد رأى المؤرخ رشدي راشد أن هذا يرقى إلى تحليل للقيمة العظمى المحلية يستبق الأفكار التفاضلية؛ بينما يقدّم مؤرخون آخرون (هوجنديك، بيرغرن) قراءات أكثر تحفظاً عبر الأدوات الإقليدية. وأياً كان الأمر، تتضمن الرسالة أيضاً طريقة عددية لافتة لتقريب جذور المعادلات التكعيبية منزلةً منزلة (ترتبط بما يُسمّى اليوم مخطط روفيني–هورنر، المحوري استقلالاً في الرياضيات الصينية، والذي صيغ في أوروبا بين 1804 و1819). واخترع أيضاً الإسطرلاب الخطي ("عصا الطوسي")، وهو إسطرلاب على هيئة عصا.
المصادر: تحقيق راشد، Sharaf al-Din al-Tusi: Oeuvres mathématiques (1986)؛ J. P. Hogendijk، "Sharaf al-Din al-Tusi on the number of positive roots of cubic equations"، Historia Mathematica 16 (1989)؛ مناقشات بيرغرن النقدية؛ DSB.
الحصّار¶
أبو بكر محمد الحصّار (ازدهر في القرن الثاني عشر) · المغرب (منطقة سبتة أو فاس) · الحساب
صاحب كتاب البيان والتذكار، وهو حساب عملي من المدرسة المغاربية، معلمه الباقي ترميزي: إذ يتضمن نص الحصّار أقدم استعمال منهجي معروف لـخط الكسر الأفقي، أي كتابة الكسر بسطاً فوق مقام يفصل بينهما خط، وهو الترميز الذي يستعمله العالم كله اليوم. ويستعمل فيبوناتشي، الذي تلقى جزءاً من تعليمه في بجاية (في المغرب)، هذا الترميز بعينه في كتاب الأبيسي، وهو الطريق المرجّح لدخوله أوروبا. وقد تُرجمت الرسالة إلى العبرية (على يد موسى بن تبّون، 1271)، وهو دليل على انتشارها.
المصادر: لمرابط، Introduction à l'histoire des mathématiques maghrébines؛ دراسات جيبار في الرياضيات المغاربية؛ كاتز.
ابن الياسمين¶
أبو محمد عبد الله بن الياسمين (ت. ح. 1204) · المغرب، مراكش، إشبيلية · الحساب، الجبر، التعليم
عالم أمازيغي اشتهر بـمنظوماته التعليمية في الرياضيات، وأبرزها الأرجوزة الياسمينية في الجبر، التي نظمت قواعد الجبر شعراً ليحفظها الطلاب؛ وقد ظلت تُنشد وتُحفظ وتُشرح في أنحاء شمال أفريقيا قروناً، وهذا تذكير بأن هذا التقليد استثمر في التعليم استثماراً جاداً. وتُظهر مخطوطات مدرسته أيضاً الرمزية الجبرية المغاربية في طور نموها (حروف/علامات للمجهول وقواه وللجذور والمساواة)، التي سينظّمها القلصادي لاحقاً.
المصادر: جيبار؛ دراسات عبد الجواد عن الرمزية المغاربية؛ لمرابط.