الحقبة السابعة — سمرقند والقرن الخامس عشر (1400–1500)¶
بنى أولوغ بيك، حفيد تيمورلنك والرياضي المتمكن هو نفسه، في سمرقند مرصداً ومدرسة جمعا أفضل علماء القرن. وكانت النتيجة: أعلى دقة حسابية بُلغت في أي مكان من العالم قبل اللوغاريتمات، وآخر قمة معترف بها عالمياً لهذا التقليد. وفي الغرب، قنّن القلصادي الرمزيةَ الجبرية.
غياث الدين جمشيد الكاشي¶
غياث الدين جمشيد بن مسعود الكاشي (ح. 1380–1429) · كاشان، سمرقند · الحساب العددي، الحساب، علم المثلثات، الفلك
أعظم رياضي حسّاب في العصور الوسطى، في أي مكان.
العدد π. في الرسالة المحيطية (1424)، حسب الكاشي \(2\pi\) باستعمال مضلعات داخلية وخارجية عدد أضلاعها \(3 \times 2^{28}\) = 805306368 ضلعاً، فحصل على القيمة بالنظام الستيني وحوّلها إلى 16 منزلة عشرية صحيحة: \(2\pi \approx 6.2831853071795865\). وقد ضاعف هذا الرقمَ القياسي القائم ثلاث مرات (كانت مدرسة مادهافا في كيرالا قد بلغت نحو 11 منزلة بالمتسلسلات؛ وفي خط المضلعات الكلاسيكي كان أفضل ما سبق صينياً، 7 منازل)، وصمد حتى لودولف فان كويلن (ح. 1596–1610). والأهم أن الكاشي خطّط للدقة مسبقاً بتحليل للخطأ: فاختار عدد الأضلاع بحيث يكون الشك أقل من عرض شعرة فرس على دائرة بحجم الكون المعروف — هندسة دقة، لا براعة لذاتها.
الكسور العشرية. يقدّم مفتاح الحساب (1427)، موسوعته في الحساب العملي والنظري، أول معالجة منهجية كاملة لـالكسور العشرية أداةً حسابية عامة (الترميز، وجميع العمليات، والتحويل من النظام الستيني وإليه)، مصوغة عن وعي على مثال الممارسة الستينية. وحين أدخل كتاب De Thiende (العُشر) لسيمون ستيفن (1585) الكسورَ العشرية إلى أوروبا، كان يعيد سلوك هذه الأرض؛ وقد اقتُرح خط انتقال عبر وسطاء عثمانيين وبيزنطيين لكنه لم يثبت.
استخراج الجذور والتكرار. يقدّم المفتاح الخوارزميةَ العامة لاستخراج الجذور النونية (مخطط منزلةً منزلةً من نوع روفيني–هورنر) مع الجدول الحداني محرّكاً لها. وتحسب رسالة الوتر والجيب \(\sin 1°\) من المعادلة التكعيبية \( \sin 3° = 3\sin 1° - 4\sin^3 1°\) بـتكرار بالنقطة الثابتة يستثمر تقاربه منزلةً منزلة، فيحصل على \(\sin 1°\) إلى نحو 9 منازل ستينية (ما يعادل نحو 16 رقماً عشرياً). وهذا تحليل عددي نموذجي — كرّر تقلّصاً، واحصد أرقاماً مضمونة — قبل ظهور المصطلحات بخمسة قرون.
قانون جيوب التمام. يحل المفتاح المثلثات بمعلومية ضلعين والزاوية المحصورة بينهما بالطريقة المكافئة لـ\(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\)؛ ولا تزال هذه النتيجة تُسمّى تقليدياً في فرنسا théorème d'Al-Kashi (مبرهنة الكاشي).
الآلات والفلك. أدار حسابات الزيج السلطاني لأولوغ بيك، واخترع "طبق المناطق"، وهو حاسوب تناظري لمواقع الكواكب، ورسائله إلى أبيه من سمرقند شهادة فريدة من الداخل على معهد بحثي وسيط (بما فيها أحاديث صريحة عن زملائه).
المصادر: DSB (A. P. Youschkevitch وB. Rosenfeld، "al-Kashi")؛ دراسات P. Luckey الكلاسيكية عن المحيطية وجيب الدرجة الواحدة؛ بيرغرن، Episodes؛ فان برومِّلن؛ Kennedy، "A Letter of Jamshid al-Kashi to His Father" (مع أعمال آيدين صايلي عن المرصد).
قاضي زاده الرومي¶
قاضي زاده الرومي (ح. 1364 – ح. 1436) · بورصة، سمرقند · الهندسة، الفلك، التعليم
"ابن القاضي القادم من الروم (الأناضول)"، الذي غادر الأراضي العثمانية إلى سمرقند، فصار أستاذ أولوغ بيك، وترأّس التدريس في المدرسة. وصار شرحاه على فلك الجغميني وعلى أشكال التأسيس لشمس الدين السمرقندي (مجموعة من 35 قضية أساسية لإقليدس) كتباً مدرسية معتمدة في المدارس قروناً في أنحاء العالم العثماني، وحسب \(\sin 1°\) بطريقة موازية لطريقة الكاشي. وبعد وفاة الكاشي أدار المرصد حتى وفاته هو؛ وقد مرّت استمرارية فريق الزيج السلطاني عبره.
المصادر: DSB؛ دراسات فضل أوغلو عن الرياضيات العثمانية؛ روزنفلد وإحسان أوغلو.
أولوغ بيك¶
ميرزا محمد طرغاي بن شاهرخ، "أولوغ بيك" (1394–1449) · سمرقند · الفلك، الرعاية العلمية
أمير تيموري (حاكم ما وراء النهر؛ وإمبراطور لفترة وجيزة)، مؤسس مدرسة سمرقند (ح. 1417–1420) ومرصدها (ح. 1424–1429)، الذي دفعت آلته الرئيسية — قوس زوال نصف قطره نحو 40 متراً ("السدس الفخري"، الذي كُشف جزؤه الموجود تحت الأرض عام 1908) — دقةَ تحديد المواقع بالعين المجردة إلى حدها العملي. وتضم رائعة المرصد، الزيج السلطاني (ح. 1437–1449)، جداول جيب وظل محسوبة بفواصل دقيقة قوسية واحدة، دقيقة إلى ما يعادل تسع منازل عشرية تقريباً من الكسور الستينية، وفهرساً لـ1018 نجماً من أرصاد جديدة، هو في جوهره أول إعادة رصد شاملة للسماء منذ فهرس بطليموس (المستمد إلى حد كبير من هيبارخوس). وقد اغتيل أولوغ بيك عام 1449 في انقلاب قاده ابنه؛ فتدهور المرصد وتفرق طاقمه — ووصل أحدهم، علي القوشجي، في النهاية إلى إسطنبول، وهي قناة موثقة لعلم سمرقند نحو العالم العثماني وصلاته الأوروبية. وقد طُبع فهرس النجوم في أوروبا (أكسفورد، 1665، على يد الحلقة الاستشراقية لجون غريفز وتوماس هايد)، واستعمله فلكيون أوروبيون، ومن ذلك في عصر فلامستيد.
المصادر: DSB (T. Kari-Niazov، "Ulugh Beg")؛ آيدين صايلي، The Observatory in Islam؛ E. B. Knobel، Ulugh Beg's Catalogue of Stars (1917)؛ فان برومِّلن.
القلصادي¶
أبو الحسن علي بن محمد القلصادي (1412–1486) · بسطة (الأندلس)، غرناطة، تونس · الحساب، الجبر، الترميز
آخر كبار رياضيي الأندلس (فرّ من إمارة غرناطة المتداعية وتوفي في تونس). تعرض مؤلفاته في الحساب، ولا سيما كشف الأسرار عن علم حروف الغبار وشروحه على ابن البنّاء، الرمزيةَ الجبرية المغاربية في طور نضجها: علامات مخصصة مشتقة من حروف/كلمات عربية للمجهول (شيء، ش)، ومربعه (مال، م)، ومكعبه (كعب، ك)، وللجذور (من جذر)، وللمساواة (من عَدَل)، وعلامة لـ"إذن/النتيجة"، مع كتابة هذه الرموز في معادلات يُعمل عليها بما هي كذلك. لم يخترع النظام (فهو يظهر في المخطوطات المغاربية منذ القرنين الثاني عشر والثالث عشر)، لكنه قنّنه ونشره. وهي من أقدم الرمزيات الجبرية المستمرة في العالم، معاصرة تقريباً لاختصارات الكوسيّين الألمان (ومستقلة عنها)، وسابقة بكثير لحروف فييت (1591). ولا يوجد توثيق لانتقالها إلى الرمزية الأوروبية؛ والتطور الموازي نفسه مفيد تاريخياً. وعالج أيضاً تقريب الجذور التربيعية بالتحسين المتكرر، والمقرِّبات المتتالية من نوع الكسور المستمرة.
المصادر: تعريف فوبكه في القرن التاسع عشر؛ M. Abdeljaouad، "The eight hundredth anniversary of Maghrebian algebraic symbolism" ودراسات ذات صلة؛ جيبار؛ كاتز.
سبط المارديني¶
بدر الدين محمد سبط المارديني (1423 – ح. 1506) · القاهرة · الحساب، الفلك، الآلات
موقِّت في الأزهر بالقاهرة، وأغزر مؤلفي النصوص التعليمية في عصره: رسائل موجزة في الحساب الستيني (كان كتابه رقائق الحقائق في حساب الدرج والدقائق معتمداً)، وفي الربع (الربع المجيَّب، وهو حاسبة مثلثية تناظرية جعلت كتيّباته استعمالها مألوفاً)، وفي حساب المواريث. وظلت كتبه في منهج الأزهر حتى القرن التاسع عشر، وهذا مقياس لكيفية مأسسة التقليد المتأخر لأدواته الحسابية.
المصادر: كينج، In Synchrony with the Heavens ومسحه للمخطوطات العلمية في القاهرة؛ روزنفلد وإحسان أوغلو.
ابن غازي المكناسي¶
ابن غازي المكناسي (1437–1513) · مكناس، فاس · الحساب، الجبر
فقيه ورياضي مغاربي، تلخص منظومته منية الحُسّاب، مع شرحه النثري عليها بغية الطلاب، حسابَ مدرسة ابن البنّاء وجبرها في نهاية قوسها الإبداعي: العدّ، والكسور، والجذور، وحساب الخطأين، والجبر بالرموز المغاربية. وهي ثمينة للمؤرخين بوصفها لقطة متأخرة كاملة للتقليد الغربي في اللحظة نفسها التي بدأت فيها الرياضيات الأوروبية المطبوعة صعودها.
المصادر: جيبار؛ لمرابط؛ روزنفلد وإحسان أوغلو.