الهندسة¶

حُرّاسٌ جدّدوا البيت¶

ورث التقليد الإسلامي الهندسةَ اليونانية كاملة — إقليدس وأرخميدس وأبولونيوس — وصنع بها ثلاثة أشياء: حفظها (فبعض أجزائها لم يبقَ إلا بالعربية، ومنها المقالات 5–7 من المخروطات لأبولونيوس ومقالات من ديوفانطس)، وعلّمها (فكان إقليدس المنهج الدراسي العام)، ومدّها على عدة خطوط بحثية.

الخط البحثي 1: القياس وبواكير حساب التكامل¶

استمر البرنامج الأرخميدي في حساب المساحات والأحجام بطريقة الاستنفاد مع جِدّة حقيقية:

أعاد بنو موسى صياغة أرخميدس صياغةً حسابية، معاملين \(\pi\) مقداراً.
حسب ثابت بن قرة مساحة قطعة القطع المكافئ بالجمع على تقسيمات غير متساوية، وأحجام المجسمات المكافئة.
قدّم إبراهيم بن سنان أرشق تربيع للقطع المكافئ قبل العصر الحديث، عبر اللاتغيّر التآلفي.
جمع ابن الهيثم القوى الرابعة لإيجاد حجم مجسم مكافئ يدور حول قاعدته، مستعملاً بالضبط أداة \(\sum_{k=1}^{n} k^4\) التي احتاجتها أوروبا القرن السابع عشر (كافاليري، فيرما، باسكال، واليس) لحساب \(\int_0^a x^n dx\) — المدخل الحسابي إلى حساب التكامل.

أما هل عرف أصحاب التكامل الأوروبيون السوابقَ العربية، فذلك غير موثَّق في معظمه؛ والمهم أن رياضيات "التقطيع والجمع والتدقيق" دُفعت بين 850 و1050 أبعد مما بلغته في أي مكان آخر قبل القرن السابع عشر.

الخط البحثي 2: مصادرة التوازي¶

تصدّت سلسلة غير منقطعة من علماء الهندسة المسلمين للمصادرة الخامسة لإقليدس: الجوهري، وثابت، وابن الهيثم (الرباعي ذو الزوايا القائمة الثلاث الذي سُمّي لاحقاً باسم لامبرت)، والخيام (الرباعي متساوي الضلعين الذي سُمّي لاحقاً باسم ساكيري، مع التقسيم الثلاثي الصريح لزاويتَي القمة: حادتين/قائمتين/منفرجتين)، ونصير الدين الطوسي ومدرسته. وكل "البراهين" تفشل، بالضرورة، لأنها تُدخل خفيةً افتراضاً مكافئاً؛ لكن التحليل المتراكم لما تكافئه المصادرة، وتشكيلات الرباعيات نفسها، انتقلت إلى أوروبا حين طُبعت في روما عام 1594 نسخةٌ من الطوسي المنسوب، وناقشها جون واليس (محاضرة 1663)، واستُشهد بها في الصفحات الأولى من كتاب ساكيري Euclides Vindicatus (1733)، وهو الكتاب الذي ينطلق منه الطريق عبر لامبرت ولوجندر إلى غاوس وبولياي ولوباتشيفسكي. فللهندسة اللاإقليدية فصلٌ إسلامي موثَّق في ما قبل تاريخها.

الخط البحثي 3: إنشاءات تتجاوز المسطرة¶

تعامل هذا التقليد مع المسائل الكلاسيكية (تثليث الزاوية، المسبّع المنتظم، مسائل من نوع تضعيف المكعب) لا بوصفها محرَّمات بل بوصفها سُلّماً من الأدوات: ما يحتاج إلى القطوع المخروطية، وما يحتاج إلى الميل (neusis)، وما يمكن تقريبه. ويندرج هنا مسبّع السجزي بالقطوع المخروطية، و"البركار التام" لـالقوهي لرسم القطوع المخروطية بحركة واحدة، وتثليثات الصاغاني، وإنشاءات أبي الوفاء بـالبركار الصدئ (ذي الفتحة الثابتة)؛ وهذه الأخيرة تستبق نتائج القرن العشرين المجاورة لمبرهنة مور–ماسكيروني حول أدوات الإنشاء المقيّدة، وترتبط مباشرةً بالممارسة الحِرفية — زخارف الگره الشريطية وقِباب المقرنصات في العمارة الإسلامية، التي قورنت أنماط بلاطات الگره شبه الدورية فيها (لو وشتاينهارت، Science، 2007) بتبليطات بنروز.

الخط البحثي 4: أسس النسبة والمقدار¶

دفعت شروح المقالة الخامسة لإقليدس (التناسب) والمقالة العاشرة (الصُّم)، على يد الماهاني والخيام وغيرهما، نحو معاملة النِّسَب أعداداً، أي نحو متّصل الأعداد الحقيقية. ومناقشة الخيام لتأليف النِّسَب، واعتراضه على أن تعريف إقليدس يُخفي الطبيعة الكمية للنسبة، محطاتٌ على الطريق الذي ينتهي بإنشاء ديديكند للأعداد الحقيقية (1872)، وقد لاحظ المؤرخون استدلالاً على نمط "القَطع" الديديكندي عند أودوكسوس وعند الشُّرّاح العرب على السواء.

الخط البحثي 5: هندسة الكرة¶

تحوّلت الهندسة الكروية، بدافع من علم الفلك والقبلة، من تمارين مبرهنة منلاوس إلى الحل المثلثي المنهجي للمثلثات الكروية: انظر فصل علم المثلثات.

المصادر: بيرغرن، Episodes، الفصل 3؛ راشد، Les mathématiques infinitésimales؛ روزنفلد، A History of Non-Euclidean Geometry؛ كاتز؛ Lu وSteinhardt، "Decagonal and Quasi-crystalline Tilings in Medieval Islamic Architecture"، Science 315 (2007).