Ère VII — Samarcande et le XVe Siècle (1400–1500)¶
Ulugh Beg, petit-fils de Tamerlan et lui-même mathématicien compétent, bâtit à Samarcande un observatoire et une madrasa qui réunirent les meilleurs savants du siècle. Le résultat : la plus haute précision de calcul atteinte où que ce soit dans le monde avant les logarithmes, et le dernier sommet universellement reconnu de la tradition. À l'ouest, al-Qalasadi codifia le symbolisme algébrique.
Ghiyath al-Din Jamshid al-Kashi¶
Ghiyath al-Din Jamshid ibn Masud al-Kashi (c. 1380–1429) · Kashan, Samarcande · calcul, arithmétique, trigonométrie, astronomie
Le plus grand mathématicien calculateur du Moyen Âge, où que ce soit.
Pi. Dans al-Risala al-Muhitiyya (« Traité de la circonférence », 1424), al-Kashi calcula \(2\pi\) au moyen de polygones inscrits et circonscrits de \(3 \times 2^{28}\) = 805 306 368 côtés, obtenant la valeur en sexagésimal puis la convertissant en 16 décimales exactes : \(2\pi \approx 6{,}2831853071795865\). Cela triplait le record en vigueur (l'école de Madhava au Kerala disposait d'environ 11 décimales par les séries ; dans la lignée classique des polygones, le meilleur résultat précédent était chinois, 7 décimales) et tint jusqu'à Ludolph van Ceulen (c. 1596–1610). Point crucial, al-Kashi planifia la précision à l'avance par une analyse d'erreur : il choisit le nombre de côtés de sorte que l'incertitude soit inférieure à l'épaisseur d'un crin de cheval sur un cercle de la taille de l'univers connu — de l'ingénierie de précision, non une virtuosité gratuite.
Fractions décimales. Le Miftah al-Hisab (« La clé de l'arithmétique », 1427), son encyclopédie du calcul pratique et théorique, donne le premier traitement pleinement systématique des fractions décimales comme instrument de calcul général (notation, toutes les opérations, conversions vers et depuis le sexagésimal), consciemment calqué sur la pratique sexagésimale. Lorsque le De Thiende de Simon Stevin (1585) introduisit les fractions décimales en Europe, il reparcourait ce terrain ; une ligne de transmission par des intermédiaires ottomans et byzantins a été suggérée mais non établie.
Extraction des racines et itération. Le Miftah donne l'algorithme général d'extraction des racines \(n\)-ièmes (schéma chiffre par chiffre de type Ruffini–Horner), avec la table binomiale pour moteur. Sa Risala al-Watar wa-l-Jayb (Traité de la corde et du sinus) calcule \(\sin 1°\) à partir de la cubique \( \sin 3° = 3\sin 1° - 4\sin^3 1°\) par une itération de point fixe dont il exploite la convergence chiffre par chiffre, obtenant \(\sin 1°\) à environ 9 positions sexagésimales (l'équivalent d'environ 16 chiffres décimaux). C'est de l'analyse numérique de manuel — itérer une contraction, récolter des chiffres garantis —, cinq siècles avant la terminologie.
La loi des cosinus. Le Miftah résout les triangles à partir de deux côtés et de l'angle compris par la méthode équivalente à \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\) ; en France, ce résultat est encore traditionnellement appelé théorème d'Al-Kashi.
Instruments et astronomie. Il dirigea les calculs du Zij-i Sultani d'Ulugh Beg, inventa le calculateur analogique dit « plaque des zones » pour les positions planétaires, et ses lettres à son père écrites depuis Samarcande constituent un témoignage unique, de l'intérieur, sur un institut de recherche médiéval (y compris des commérages sans fard sur ses collègues).
Sources : DSB (A. P. Youschkevitch & B. Rosenfeld, « al-Kashi ») ; les études classiques de P. Luckey sur la Muhitiyya et le sinus de 1° ; Berggren, Episodes ; Van Brummelen ; Kennedy, « A Letter of Jamshid al-Kashi to His Father » (avec les travaux d'Aydin Sayili sur l'observatoire).
Qadi Zada al-Rumi¶
Qadi Zada al-Rumi (c. 1364 – c. 1436) · Brousse, Samarcande · géométrie, astronomie, enseignement
« Le fils du juge, venu du Rum (Anatolie) », qui quitta les terres ottomanes pour Samarcande, devint le maître d'Ulugh Beg et dirigea l'enseignement de la madrasa. Ses commentaires de l'astronomie d'al-Chaghmini et des Ashkal al-Ta'sis de Shams al-Din al-Samarqandi (un recueil de 35 propositions fondamentales d'Euclide) devinrent pendant des siècles des manuels de madrasa de référence dans tout le monde ottoman, et il calcula \(\sin 1°\) par une méthode parallèle à celle d'al-Kashi. Après la mort d'al-Kashi, il dirigea l'observatoire jusqu'à sa propre mort ; la continuité de l'équipe du Zij-i Sultani passa par lui.
Sources : DSB ; les études de Fazlıoğlu sur les mathématiques ottomanes ; Rosenfeld & Ihsanoglu.
Ulugh Beg¶
Mirza Muhammad Taraghay ibn Shahrukh, « Ulugh Beg » (1394–1449) · Samarcande · astronomie, mécénat
Prince timouride (souverain de la Transoxiane ; brièvement empereur), fondateur de la madrasa (c. 1417–1420) et de l'observatoire (c. 1424–1429) de Samarcande, dont l'instrument principal, un arc méridien d'environ 40 m de rayon (le « sextant Fakhri », dont la partie souterraine fut dégagée en 1908), poussa la précision positionnelle à l'œil nu jusqu'à sa limite pratique. Le chef-d'œuvre de l'observatoire, le Zij-i Sultani (c. 1437–1449), contient des tables de sinus et de tangentes calculées de minute d'arc en minute d'arc, exactes jusqu'à environ neuf décimales en équivalent de fractions sexagésimales, et un catalogue de 1 018 étoiles issu de nouvelles observations, pour l'essentiel la première réobservation complète du ciel depuis le catalogue de Ptolémée (largement dérivé d'Hipparque). Ulugh Beg fut assassiné en 1449 lors d'un coup d'État mené par son fils ; l'observatoire déclina et son personnel se dispersa — l'un d'eux, Ali Qushji, finit par gagner Istanbul, canal documenté de la science de Samarcande vers le monde ottoman et ses contacts européens. Le catalogue d'étoiles fut imprimé en Europe (Oxford, 1665, par le cercle orientaliste de John Greaves et Thomas Hyde) et utilisé par des astronomes européens, notamment à l'époque de Flamsteed.
Sources : DSB (T. Kari-Niazov, « Ulugh Beg ») ; Aydin Sayili, The Observatory in Islam ; E. B. Knobel, Ulugh Beg's Catalogue of Stars (1917) ; Van Brummelen.
al-Qalasadi¶
Abu al-Hasan Ali ibn Muhammad al-Qalasadi (1412–1486) · Baza (al-Andalus), Grenade, Tunisie · arithmétique, algèbre, notation
Le dernier grand mathématicien d'al-Andalus (il fuit l'émirat de Grenade en plein effondrement et mourut en Tunisie). Ses ouvrages d'arithmétique, en particulier le Kashf al-Asrar an Ilm Huruf al-Ghubar (« Dévoilement des secrets de la science des chiffres de poussière ») et ses commentaires d'Ibn al-Banna, présentent le symbolisme algébrique maghrébin parvenu à maturité : des signes dédiés dérivés de lettres/mots arabes pour l'inconnue (shay, ش), son carré (mal, م), son cube (kab, ك), pour les racines (de jidhr), l'égalité (de adala) et une marque pour « donc/résultat », ces symboles étant écrits dans des équations sur lesquelles on opère en tant que telles. Il n'inventa pas le système (celui-ci apparaît dans les manuscrits maghrébins dès les XIIe–XIIIe siècles), mais il le codifia et le popularisa. C'est l'un des plus anciens symbolismes algébriques suivis au monde, à peu près contemporain des abréviations des cossistes allemands (et indépendant d'elles), et bien antérieur aux lettres de Viète (1591). Aucune transmission vers le symbolisme européen n'est documentée ; l'évolution parallèle elle-même est historiquement instructive. Il traita aussi de l'approximation des racines carrées par raffinement itéré, et des réduites successives de type fraction continue.
Sources : la notice de Woepcke au XIXe siècle ; M. Abdeljaouad, « The eight hundredth anniversary of Maghrebian algebraic symbolism » et études connexes ; Djebbar ; Katz.
Sibt al-Maridini¶
Badr al-Din Muhammad Sibt al-Maridini (1423 – c. 1506) · Le Caire · arithmétique, astronomie, instruments
Muwaqqit à al-Azhar au Caire et l'auteur le plus prolifique de textes d'enseignement de son époque : traités concis d'arithmétique sexagésimale (ses Raqa'iq al-haqa'iq fi hisab al-daraj wa-l-daqa'iq, sur le calcul en degrés et minutes, faisaient référence), sur le quadrant (le quadrant à sinus, ou rub al-mujayyab, une calculatrice trigonométrique analogique dont ses manuels rendirent l'usage courant) et sur l'arithmétique successorale. Ses livres restèrent au programme d'al-Azhar jusqu'au XIXe siècle, mesure de la manière dont la tradition tardive institutionnalisa sa boîte à outils calculatoire.
Sources : King, In Synchrony with the Heavens et son inventaire des manuscrits scientifiques du Caire ; Rosenfeld & Ihsanoglu.
Ibn Ghazi al-Miknasi¶
Ibn Ghazi al-Miknasi (1437–1513) · Meknès, Fès · arithmétique, algèbre
Juriste et mathématicien maghrébin dont la Munyat al-Hussab (« Le vœu des calculateurs »), un poème accompagné de son propre commentaire en prose, la Bughyat al-Tullab, résume l'arithmétique et l'algèbre de l'école d'Ibn al-Banna à la fin de son arc créatif : numération, fractions, racines, fausse position, algèbre avec les symboles maghrébins. Précieux pour les historiens comme instantané tardif et complet de la tradition occidentale, au moment même où les mathématiques européennes imprimées commençaient leur ascension.
Sources : Djebbar ; Lamrabet ; Rosenfeld & Ihsanoglu.