Fibonacci et les Algoristes¶

L'Élève de Pise¶

Léonard de Pise (Fibonacci, c. 1170 – c. années 1240) est à lui seul le plus important vecteur des mathématiques islamiques dans la pratique européenne, et il le dit lui-même. Son père dirigeait la colonie marchande pisane de Bougie (Béjaïa, dans l'Algérie actuelle), et Léonard raconte dans le prologue du Liber Abaci qu'il y fut envoyé enfant et instruit dans les neuf figures indiennes, puis qu'il poursuivit l'étude de cet art au cours de ses voyages autour de la Méditerranée — Égypte, Syrie, Grèce, Sicile, Provence —, le trouvant supérieur à toutes les autres méthodes.

Liber Abaci (1202, révisé en 1228)¶

Malgré son titre (« Livre du calcul » ; abacus désigne ici le calcul en général, et non le boulier), l'ouvrage est un traité complet d'arithmétique et d'algèbre indo-arabes :

Les chiffres, la valeur de position et le zéro (zephirum, de l'arabe sifr), enseignés méthodiquement aux lecteurs latins.
L'ensemble complet des algorithmes, y compris les vérifications (preuve par neuf) et la barre de fraction de style maghrébin qu'il apprit en Afrique du Nord (voir al-Hassar).
Les mathématiques commerciales : change, troc, alliages, associations, intérêts — les mathématiques de la révolution marchande.
L'algèbre à la manière d'al-Khawarizmi et, abondamment, d'Abu Kamil ; de nombreux problèmes sont repris directement.
Le problème des lapins, dont la suite des réponses (1, 1, 2, 3, 5, 8, ...) porte aujourd'hui son nom : un exercice mineur du livre, devenu immortel par accident. (Des schémas de récurrence comparables étaient connus auparavant dans la prosodie indienne ; le nom de « suite de Fibonacci » date du XIXe siècle et fut forgé par Lucas.)

Ses autres ouvrages prolongent le programme : la Practica Geometriae (1220, mesure dans le style d'Archimède et d'Abu Kamil, citant la tradition du Verba filiorum des Banu Musa), le Flos et le Liber Quadratorum (1225, théorie des nombres d'une réelle originalité, résolvant des problèmes posés à la cour de Frédéric II, dont une cubique dont il montre qu'elle n'a pas de racine rationnelle ni de racine en radicaux simples, avant de l'approcher avec une grande précision sexagésimale — une prouesse tout à fait arabe).

Les Écoles d'Abaque¶

Le Liber Abaci fut à l'origine des scuole d'abaco des villes italiennes : des écoles professionnelles où les fils de marchands apprenaient le calcul indo-arabe, l'arithmétique commerciale et un peu d'algèbre dans des libri d'abaco en langue vulgaire (il en subsiste des centaines). Pendant trois siècles, cette culture forma la classe instruite en calcul de la révolution commerciale, fournit le substrat arithmétique de la comptabilité en partie double et maintint l'algèbre en vie comme savoir-faire pratique. C'est précisément dans ce milieu que l'équation cubique fut enfin résolue arithmétiquement (Scipione del Ferro, c. 1515, professeur de Bologne issu de la tradition de l'abaque ; puis Tartaglia ; publiée dans l'Ars Magna de Cardan, 1545), achevant le programme que Khayyam avait déclaré ouvert quatre siècles plus tôt.

Résistance et Victoire des Chiffres¶

L'adoption ne fut pas instantanée : certains statuts municipaux (une règle d'une corporation florentine de 1299 en est l'exemple classique) restreignirent l'usage des nouveaux chiffres dans les registres officiels, pour des raisons de lutte contre la fraude (un 0 se transforme plus facilement en 9 ou en 6 que les chiffres romains ne se falsifient), et les chiffres romains persistèrent dans les registres pendant des générations. L'imprimerie trancha la question ; au XVIe siècle, la victoire de l'algorisme sur la table à compter était un sujet convenu des gravures allégoriques (la Margarita Philosophica de Gregor Reisch, 1503, montre Boèce calculant joyeusement avec les chiffres indo-arabes tandis que Pythagore, renfrogné, se penche sur une table à compter).

Bilan¶

Fibonacci est la preuve que la transmission n'est pas une photocopie : il assimila la tradition arabe en participant vivant (probablement auprès de maîtres maghrébins de la génération d'Ibn al-Yasamin), puis écrivit pour les besoins de sa propre civilisation. Grâce à lui et aux écoles d'abaque, l'arithmétique et l'algèbre de Bagdad, du Caire et de Bougie devinrent les mathématiques quotidiennes de Florence et de Venise, puis du monde entier.

Sources : L. E. Sigler, Fibonacci's Liber Abaci: A Translation into Modern English (2002) ; Katz ; les études de W. Van Egmond sur le corpus des livres d'abaque ; R. Franci & L. Toti Rigatelli sur les écoles d'abaque ; Devlin, The Man of Numbers (vulgarisation).