Trigonométrie¶

La Branche des Mathématiques la plus Pleinement « Née dans le Monde Islamique »¶

L'astronomie grecque calculait avec la corde d'un arc ; l'astronomie indienne introduisit la demi-corde, le sinus. La tradition islamique reprit le sinus indien, y ajouta cinq autres fonctions, démontra les théorèmes qui les régissent, construisit les tables et écrivit les premiers livres dans lesquels la trigonométrie est une matière mathématique plutôt que la boîte à outils d'un astronome. De toutes les grandes branches des mathématiques scolaires, la trigonométrie est celle dont la création en tant que discipline s'est le plus complètement accomplie au sein de cette tradition.

L'Ensemble des Fonctions¶

Sinus (jayb) : hérité de l'Inde, mis en tables dès les premiers zij (al-Khawarizmi, Habash). Le mot latin sinus (« baie/pli ») est une traduction par erreur : l'arabe jyb/jayb translittérait le sanskrit jya/jiva, mais le squelette consonantique fut lu jayb, « poche, pli », que Gérard de Crémone rendit par sinus. Chaque touche « sin » de chaque calculatrice commémore cette erreur de traduction.
Tangente et cotangente : nées comme fonctions d'ombre, les longueurs des ombres projetées par un gnomon standard, mises en tables par Habash et pleinement théorisées par al-Biruni dans le Traité exhaustif sur les ombres.
Sécante et cosécante : les fonctions d'hypoténuse correspondantes (« diamètre de l'ombre »), en usage dès le Xe siècle.
Abu al-Wafa consolida les six, démontra les identités qui les relient, établit les formules d'addition et de l'angle moitié/double sous une forme équivalente à la forme moderne, et calcula les sinus avec une grande précision au moyen d'une interpolation rigoureuse ; la précision de sa table ne fut égalée en Europe qu'au XVIe siècle.

Les Théorèmes¶

Loi des sinus plane : \(\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}\), énoncée et démontrée au sein de la tradition (attribution partagée entre la génération d'Abu al-Wafa et la systématisation d'al-Tusi).
Loi des sinus sphérique : \(\dfrac{\sin a}{\sin A} = \dfrac{\sin b}{\sin B} = \dfrac{\sin c}{\sin C}\), l'outil de base de l'astronomie, découverte vers 980–1000 (prétendants : Abu al-Wafa, Abu Nasr Mansur, al-Khujandi) ; elle remplaça la lourde configuration de Ménélaüs.
Loi des cosinus : la résolution d'un triangle à partir de deux côtés et de l'angle compris apparaît de manière opératoire dans la Clé de l'arithmétique d'al-Kashi ; c'est pourquoi l'usage français appelle encore ce résultat le théorème d'Al-Kashi.
Le « théorème de Geber » et la règle des quatre quantités dans les triangles sphériques rectangles (Jabir ibn Aflah).
Le triangle polaire et la résolution complète des triangles sphériques à partir de trois éléments donnés quelconques (Nasir al-Din al-Tusi, Traité du quadrilatère complet, le premier livre de trigonométrie autonome).

Les Tables¶

Les tables trigonométriques sont de l'analyse numérique en action : espacement des nœuds, schémas d'interpolation (linéaire, puis du second ordre) et contrôle de l'erreur. Jalons : les sinus d'Abu al-Wafa ; le Zij hakimite d'Ibn Yunus ; les tables auxiliaires universelles d'al-Khalili, avec environ 13 000 entrées (fonctions de deux et trois variables) ; les tables de sinus et de tangentes du Zij-i Sultani de Samarcande, de minute d'arc en minute d'arc ; le \(\sin 1°\) d'al-Kashi par itération de point fixe jusqu'à l'équivalent d'environ 16 décimales. Le problème que résout l'itération d'al-Kashi — passer du \(\sin 3°\), constructible, à \(\sin 1°\) au moyen d'une cubique irréductible — est le casus irreducibilis qui obligera plus tard les Européens (Bombelli, 1572) à prendre les nombres complexes au sérieux.

Les Applications qui la Stimulèrent¶

Les heures de prière (astronomie sphérique de la hauteur du Soleil), la qibla (un problème général de triangle sphérique : connaissant les coordonnées de deux points, trouver l'orientation du grand cercle qui les relie ; résolu exactement par Ibn Mu'adh et al-Biruni, et mis en tables par al-Khalili), les problèmes de visibilité liés au calendrier, la géodésie (la mesure de la Terre par al-Biruni) et la cartographie (al-Biruni analysa les projections cartographiques ; la théorie de la projection stéréographique sous-tend l'astrolabe).

Transmission et Lien Moderne¶

L'Islah latin de Jabir ibn Aflah et le corpus astronomique portèrent la trigonométrie islamique en Europe, où le De triangulis omnibus de Regiomontanus (1464) assembla le même édifice pour les lecteurs latins (avec des emprunts documentés à Geber). De Regiomontanus, la lignée passe par les tables de Rheticus et par Viète jusqu'à la trigonométrie analytique d'Euler, qui définit enfin les fonctions sur le cercle unité comme de purs nombres — la discipline moderne. Chaque positionnement GPS, chaque transformée de Fourier et chaque matrice de rotation calcule avec l'ensemble de fonctions et de théorèmes que cette tradition a réunis : le sinus de \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\) a cheminé jusqu'en Europe depuis Bagdad, et jusqu'à Bagdad depuis l'Inde.

Sources : Glen Van Brummelen, The Mathematics of the Heavens and the Earth: The Early History of Trigonometry (2009), l'histoire moderne de référence ; Berggren, Episodes, ch. 5–6 ; Kennedy, Survey ; King, In Synchrony with the Heavens.